复数学习笔记

实部虚部

复数 \(z\) 的实部（Real part）记为 \(\operatorname{Re} z\)（或 \(\operatorname{Re}(z)\)，\(\mathcal {Re}(z)\)，\(\mathfrak {R}(z)\)），虚部（Imaginary part）记为 \(\operatorname{Im}z\)（或 \(\operatorname{Im}(z)\)，\(\mathcal {Im}(z)\)，\(\mathfrak{I}(z)\)）

共轭与模

\(|z|\) 称为 \(z\) 的模或绝对值，\(\bar z\) 称为 \(z\) 的共轭复数。下面是它们的一些基本性质：

设 \(z\) 和 \(w\) 是两个复数，那么

1. \(\operatorname{Re} z=\dfrac12(z+\bar z)\)，\(\operatorname{Im} z = \dfrac1{2\mathrm{i}}(z-\bar z)\)

2. \(z\) 为纯虚数 \(\iff\) \(z=-\bar z\) 且 \(z\neq 0\)

3. \(z\) 为实数 \(\iff\) \(z=\bar z\)

4. \(z\bar z=|z|^2\)

5. \(\overline{z+w}=\bar z+\bar w,\overline{zw}=\bar z\bar w\)

6. \(|zw|=|z|\,|w|\)，\(\left|\frac zw\right|=\frac{|z|}{|w|}\)

7. \(|z|=|\bar z|\)

这些性质的证明都很简单，但在证明 \(|zw|=|z|\,|w|\) 时，初学者往往会用 \(z\) 和 \(w\) 的实部和虚部来表示 \(|zw|\) 和 \(|z|\,|w|\)，从而证明它们相等。其实，利用 \(z\bar z=|z|^2\) 来证明要简单得多：

\[|zw|^2=(zw)(\overline{zw})=(z\bar z)(w\bar w)=|z|^2|w|^2 \]

复数共轭的四则运算

\[\overline{z_1\pm z_2}=\bar z_1\pm \bar z_2,\ \overline{z_1\cdot z_2} = \bar z_1\cdot \bar z_2,\ \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar z_1}{\bar z_2} \]

这几个公式表明：共轭运算和四则运算的顺序是可以交换的。

复数的辐角

以 \(x\) 轴的正半轴为始边、向量 \(\overrightarrow{OZ}\) 所在的射线为终边的角 \(\theta\)，叫做复数 \(z\) 的辐角，记作 \(\operatorname{Arg}z=\theta\)。不等于零的复数的辐角有无限多个值，这些值相差 \(2\pi\) 的整数倍。例如，复数 \(\mathrm{i}\) 的辐角是 \(\frac{\pi}{2}+2k\pi\ (k\in\mathbb{Z})\)。为了使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，满足 \(0\le \theta < 2\pi\) 的辐角的值，叫做辐角主值，记作 \(\operatorname{arg}z\)，即 \(0\le \operatorname{arg} z <2\pi\)。

注：不同教材的定义略有差别，史济怀《复变函数》中定义 \(-\pi\le \operatorname{arg} z <\pi\)。

每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角主值，并且可由它的模与辐角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等。 如果 \(z=0\)，那么与它对应的向量 \(\overrightarrow{OZ}\) 缩成一个点（零向量），这样的向量的方向是任意的，所以复数 \(0\) 的辐角也是任意的。

代数形式

\(z=a+b\mathrm{i}\ (a,b\in\mathbb{R})\)

\(z_1>z_2 \implies z_1,z_2\in\mathbb{R}\)
\(z_1-z_2>0 \iff \operatorname{Im}(z_1)=\operatorname{Im}(z_2)\wedge \operatorname{Re}(z_1)>\operatorname{Re}(z_2)\)
可见 \(z_1>z_2\) 不等价于 \(z_1-z_2>0\)，在复数域上不等式的性质不成立。

三角形式

\(z=\cos \theta+\mathrm{i}\sin \theta\)

棣（dì）莫弗公式

\[r_1(\cos\theta_1+\mathrm{i}\sin\theta_2)\cdot r_2(\cos\theta_2+\mathrm{i}\sin\theta_2)=r_1r_2\left[\cos(\theta_1+\theta_2)+\mathrm{i} \sin(\theta_1+\theta_2)\right] \]

\[[r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)]^n=r^n(\cos n\theta+\mathrm{i}\sin n\theta) \]

\[\frac{r_1(\cos\theta_1+\mathrm{i}\sin\theta_2)}{r_2(\cos\theta_2+\mathrm{i}\sin\theta_2)} = \frac{r_1}{r_2}\left[\cos(\theta_1-\theta_2)+\mathrm{i} \sin(\theta_1-\theta_2)\right] \]

复数相乘的几何意义： 由棣莫弗公式可以看到，两个复数相乘意味着将这两个复数的模长相乘，辐角相加。由此容易推出：\(|z_1z_2|=|z_1|\,|z_2|\)，\(\operatorname{Arg}\left(z_1z_2\right)= \operatorname{Arg} z_1+\operatorname{Arg}z_2\)（或相差 \(2\pi\)）

复数的开方

在复数范围内，开方这一运算已经和实数范围的大有不同。设 \(z_0=r_0(\cos \theta_0+\mathrm{i}\sin \theta_0)\)，则对 \(z_0\) 开 \(n\) 次方，本质上就是在解方程：\(z^{n}=z_0\) 。根据代数基本定理，我们知道它有且仅有 \(n\) 个解。再根据棣莫弗公式，不难推出下面这 \(n\) 个复数就是方程的解：

\[z_{k}=\sqrt[n]{r_0}\left(\cos \frac{\theta_0+2 k \pi}{n}+\mathrm{i}\sin \frac{\theta_0+2 k \pi}{n}\right),\ k=1,2, \ldots, n \]

这就是复数开方的一般表达式。

单位根

多项式 \(x^{n}=1\) 的 \(n\) 个根称为 \(1\) 的 \(n\) 次单位根，记为 \(\xi_{k}\ (k=1,2, \ldots, n)\)。

由复数开方公式：

\[\xi_{k}=\cos \frac{2 k \pi}{n}+i \sin \frac{2 k \pi}{n}(k=1,2, \ldots, n) \]

特别地，当 \(n=3\) 时，记 \(\omega=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\)，则 \(1, \omega, \omega^{2}\) 是 \(1\) 的三个 \(3\) 次单位根。（\(\omega\) 是复数中的一个专有符号，它代表的就是这个 \(3\) 次单位根的复数，一般不会有其他含义）

关于 \(n\) 次单位根，有如下性质：

\(\xi_{k}^{n}=1\ (k=1,2, \ldots, n)\)，特别地，\(\xi_{k}\ (k=1,2, \ldots, n-1)\) 满足方程：

\[x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1=0 \]

\(\xi_{k}=\xi_{1}^{k}\ (k=1,2, \ldots, n)\)

\(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1=\left(x-\xi_{1}\right)\left(x-\xi_{2}\right) \cdots\left(x-\xi_{n-1}\right)\)

证明：由棣莫弗公式，

\[\xi_{1}^{k}=\left(\cos \frac{2 \pi}{n}+\mathrm{i} \sin \frac{2 \pi}{n}\right)^{k}=\cos \frac{2 k \pi}{n}+\mathrm{i} \sin \frac{2 k \pi}{n}=\xi_{k} \]

由因式定理，因为 \(\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n}\) 是方程 \(x^{n}-1=0\) 的 \(n\) 个根，故 \(x^{n}-1=\left(x-\xi_{1}\right)\left(x-\xi_{2}\right) \cdots\left(x-\xi_{n}\right)\)

根据幂差公式，\(x^{n}-1=(x-1)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+1\right)\)。两者比较即有

\[x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1=\left(x-\xi_{1}\right)\left(x-\xi_{2}\right) \cdots\left(x-\xi_{n-1}\right) \]