欧拉线的纯几何证明

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如图 \(H, G, O\) 分别是 \(\triangle ABC\) 的垂心, 重心, 外心
延长 \(BO\) 交 \(\triangle ABC\) 外接圆于点 \(D\)，连结 \(AH\), \(AD\), \(CD\), \(CH\)
由于 \(BD\) 是直径, 因此 \(CD \perp BC\)， \(AD \perp AB\)
又由于 \(H\) 是垂心, 因此 \(AH \perp BC\)，\(CH \perp AB\)
于是 \(CD /\!/ AH, AD /\!/ CH\)
于是四边形 \(ADCH\) 为平行四边形，\(\therefore AH=DC\)
作 \(BC\) 边上的中线 \(AM\)，连结 \(OM, OH\)，设 \(OH\) 交 \(AM\) 于点 \(G\)
\(\because O, M\) 分别是 \(BD, CB\) 的中点，\(\therefore DC=2 OM\)
根据垂径定理，\(OM \perp BC\)，因此 \(OM /\!/ AH\)，\(\triangle AHG \sim \triangle MOG\)
又\(\because AH=DC=2 OM\)，\(\therefore AG=2 GM\)
\(\therefore G\) 为 \(\triangle ABC\) 的重心
\(\therefore \triangle ABC\) 的垂心 \(H,\) 重心 \(G,\) 外心 \(O\) 三点共线，直线 \(HGO\) 即欧拉线