隔板法题型整理

参考博文：「隔板法」详解

理解隔板法

隔板法就是在 \(n\) 个元素间的 \(n-1\) 个空插入 \(k-1\) 个板子，把 \(n\) 个元素分成 \(k\) 组的方法。方案数为 \(\mathrm{C}_{n-1}^{k-1}\)。

应用隔板法必须满足的 3 个条件：

1. \(n\) 个元素是相同的
2. \(k\) 个组是互异的
3. 每组至少分得一个元素

例如，把 10 个相同的球放入 3 个不同的箱子，每个箱子至少一个，有 \(\mathrm{C}_9^2\) 种情况。

隔板法应用

普通隔板法

例 1. 求方程 \(x+y+z=10\) 的正整数解的个数。

分析：将 \(10\) 个求排成一排，球与球之间形成 \(9\) 个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 \(x\)、\(y\)、\(z\) 的值，则隔板法与解的个数之间建立了一一对应关系，故解的个数为 \(\mathrm{C}_{n-1}^{ m-1} = \mathrm{C}_9^2 = 36\)。

增减元素隔板法

例 2. 求方程 \(x+y+z=10\) 的非负整数解的个数。

分析：注意到 \(x\)、\(y\)、\(z\) 可以为零，故例 1 解法中的限定「每空至多插一块隔板」就不成立了，怎么办呢？只要预先给 \(x\)、\(y\)、\(z\) 各添加一个球，这样原问题就转化为求 \((x+1)+(y+1)+(z+1)=13\) 的解的个数了，则问题就等价于把 \(13\) 个相同小球放入 \(3\) 个不同箱子，每个箱子至少一个，方案数为 \(\mathrm{C}_{n+m-1}^{m-1}=\mathrm{C}_{12}^2=66\)。

例 3. 把 \(10\) 个相同的小球放到 \(3\) 个不同的箱子，第一个箱子至少 \(1\) 个，第二个箱子至少 \(3\) 个，第 \(3\) 个箱子可以为空，有几种情况？

我们可以在第二个箱子先放入 \(10\) 个小球中的 \(2\) 个，小球剩 \(8\) 个放 \(3\) 个箱子，然后在第三个箱子放入 \(8\) 个小球之外的 \(1\) 个小球（即补充了一个球），则问题转化为把 \(9\) 个相同小球放 \(3\) 不同箱子，每箱至少 \(1\) 个，几种方法？\(\mathrm{C}_8^2=28\)。

也可转化为例 2 的形式，即求方程 \(x+y+z=10\) \((x\ge 1,y\ge 3,z\ge 0)\) 的整数解的个数。构造新变量 \(a=y-2, b=z+1\)，现在 \(x,a,b\) 都 \(\ge 1\) 了，因此可以运用隔板法。原方程化为 \(x+a+b=10-2+1=9\)，隔板法求得方案数 \(\mathrm{C}_{9-1}^{2-1}=\mathrm{C}_8^2=28\)。

例 4. 将 20 个相同的小球放入编号分别为 1，2，3，4 的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。

分析：先在编号 \(1,2,3,4\) 的四个盒子内分别放 \(0,1,2,3\) 个球，剩下 \(14\) 个球，再把剩下的球分成 \(4\) 组，每组至少 \(1\) 个，由例 \(1\) 知方法有 \(\mathrm{C}_{13}^3=286\)（种）。

添板插板法（添加盒子法）

例 5. 有一类自然数，从左往右的第三个数字开始，每个数字都恰好是它左边两个数字之和，直至不能再写为止，如 1459，58，21369 等。这类数共有几个？

分析：因为前 2 位唯一确定了整个序列，只要求出前两位的所有情况即可，设前两位为 \(a\) 和 \(b\)

显然 \(a + b \le 9\)，且 \(a\) 不为 \(0\)，但 \(b\) 可以为 0（例如 202246）。这里恼人的地方在于这个不等号，\(a+b\) 的总数是不确定的。怎么办？

这里可以构造第三个盒子 \(c\) 来放剩下的球，即 \(a+b+c=9\) \((a\ge1,b\ge0,c\ge0)\)。老套路，转化为 \(a+(b+1)+(c+1)=11\)，使得\(\begin{cases} a\ge1 \\ (b+1)\ge1 \\ (c+1)\ge1 \end{cases}\)

题目等价于，11 个球放入 3 个不同的箱子，每个箱子至少放一个，\(\mathrm{C}_{10}^2\)。

选板法

例 6. 有 10 粒糖，如果每天至少吃一粒（多不限），吃完为止，求有多少种不同吃法？

分析：o_o_o_o_o_o_o_o_o_o（o 代表 10 个糖，_ 代表 9 个空）

所以 10 块糖，9 个空，插入 9 块隔板，每个板都可以选择放或不放，相邻两板间的糖一天吃掉，这样共有 \(2^9=512\) 啦。

分类插板法

例 7. 小梅有 15 块糖，如果每天至少吃 3 块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？

分析：

此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论。显然最多吃 5 天，最少吃 1 天。

1. 吃 1 天或是 5 天，各一种吃法,一共 \(2\) 种情况
2. 吃 2 天，每天预先吃 2 块，即问 11 块糖，每天至少吃 1 块，吃 2 天，几种情况？ \(\mathrm{C}_{10}^1=10\)
3. 吃 3 天，每天预先吃 2 块，即问 9 块糖，每天至少 1 块，吃 3 天？\(\mathrm{C}_8^2=28\)
4. 吃 4 天，每天预先吃 2 块，即问 7 块糖，每天至少 1 块，吃 4 天？\(\mathrm{C}_6^3=20\)

所以一共是 \(2+10+28+20=60\) 种。

^*逐步插板法

实际上是逐步插空法，属于插空而不是插板法。

例 8. 在一张节目单中原有 6 个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加 3 个节目，共有几种情况？

分析：可以用一个节目去插 7 个空位，再用第二个节目去插 8 个空位，用最后个节目去插 9 个空位，所以一共是 \(\mathrm{C}_7^1 \mathrm{C}_8^1 \mathrm{C}_9^1=504\) 种。

综合例题

有 \(n\) 个不同的盒子，在每个盒子中放一些球（可以不放），使得总球数不大于 \(m\)，求方案数。

分析：总球数 \(\le m\)，所以我们可以增加一个盒子放 \(m\) 个球中没被选中的球。所以题目等价于 \(m\) 个球放入 \(n+1\) 个盒子中，盒子有里球数可以为 \(0\)，添元素插板法，每一个盒子都增加一个球，即 \(m+n+1\) 个球放入 \(n+1\) 个盒子，\(\mathrm{C}_{m+n}^n\) 为答案。