简单快速求法向量(借0构造)

有一个向量中出现一个 \(0\)

根据垂直向量数量积为 \(0\) ，很容易构造与 \(\vec{m}=(a,0,b)\) 垂直的向量：\(\vec{n}=(-b,y,a)\) 或 \(\vec{n}=(b,y,-a)\)，注意 \(0\) 的位置与待定系数的位置相同。

例1

\(\overrightarrow{AB}=(2,1,3)\)，\(\overrightarrow{AC}=(-1,0,2)\)
根据 \(\overrightarrow{AC}\) 构造法向量 \(\vec{n}=(2,y,1)\)
由 \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) 得 \(4+y+3=0 \Rightarrow y=-7\)
即 \(\vec{n}=(2,-7,1)\)

例2

\(\overrightarrow{AB}=(2,2,1)\)，\(\overrightarrow{AC}=(-1,2,0)\)
根据 \(\overrightarrow{AC}\) 构造法向量 \(\vec{n}=(2,1,z)\)
由 \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) 得 \(4+2+z=0 \Rightarrow z=-6\)
即 \(\vec{n}=(2,1,-6)\)

两个向量有 \(0\) 在同一个位置

若两个向量有 \(0\) 在同一个位置，则直接得到沿着坐标轴的法向量。

例3

\(\overrightarrow{AB}=(2,0,1)\)，\(\overrightarrow{AC}=(-1,0,2)\) 直接得到 \(\vec{n}=(0,1,0)\)

例4

\(\overrightarrow{AB}=(2,1,0)\)，\(\overrightarrow{AC}=(-1,3,0)\) 直接得到 \(\vec{n}=(0,0,1)\)

有一个向量中出现两个 \(0\)

首先，构造与 \(\overrightarrow{AB}=(a,0,0)\) 垂直的向量：\(\vec{n}=(0,\ \_\ ,\ \_)\)；

在此基础上，根据 \(\overrightarrow{AC}=(b,c,d)\) 直接构造 \(\vec{n}=(0,d,-c)\) 或 \(\vec{n}=(0,-d,c)\)。

例4

\(\overrightarrow{AB}=(2,0,0)\)，\(\overrightarrow{AC}=(-1,3,2)\)
根据 \(\overrightarrow{AB}\) 构造法向量 \(\vec{n}=(0,\ \_\ ,\ \_)\)
根据 \(\overrightarrow{AC}=(-1,3,2)\) 构造 \(\vec{n}=(0,-2,3)\)

两个向量都没有 \(0\)？

重新建系（误）

根据平面向量基本定理，\(\vec{c}=x\vec{a}+y\vec{b}\) 与 \(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)共面。若两个向量都没有 \(0\)，可以借此构造 \(0\)。

例5

\(\vec{a}=(2,1,3)\)，\(\vec{b}=(-1,3,2)\)
构造含 \(0\) 向量 \(\vec{c}=\vec{a}+2\vec{b}=(0,7,7)\)
将 \(\vec{c}\) 简化为 \((0,1,1)\)，据此构造法向量 \(\vec{n}=(x,1,-1)\)
由 \(\vec{a}\cdot\vec{n}=0\) 得 \(2x+1-3=0 \Rightarrow x=1\)
即 \(\vec{n}=(1,1,-1)\)