容斥原理的简单证明
设 \(t\) 为 \(m\) 个集合中的元素
在考虑集合个数为 \(1\) 的时候,\(t\) 被加了 \(C_m^1\) 次
在考虑集合个数为 \(2\) 的时候,\(t\) 被减了 \(C_m^2\) 次
在考虑集合个数为 \(3\) 的时候,\(t\) 被加了 \(C_m^3\) 次
...
\(t\) 总共被加了 \(C_m^1-C_m^2+C_m^3-C_m^4+\cdots \pm C_m^m\) 次
(\(m\) 为奇数时为 \(+C_m^m\),偶数时为 \(-C_m^m\))
上面的式子可以写成
\[\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^m -1 \times (-1)^i C_m^i \\
=&-\sum_{i=1}^m (-1)^i C_m^i \quad \dots(\mathrm{I})
\end{aligned}
\]
由二项式定理得
\[(-1+1)^m=\sum_{i=0}^m (-1)^i \cdot 1^{m-i} \cdot C_m^i=\sum_{i=0}^m (-1)^i C_m^i=1
\]
所以
\[(\mathrm{I})=-\left[ (-1+1)^m -C_m^0 \right]=1
\]
所以 \(t\) 被加了 \(1\) 次,所以容斥原理正确