欧拉函数学习笔记

原作者：liuzibujian
原文：https://blog.csdn.net/liuzibujian/article/details/81086324
本文稍作补充，精细排版。

前言

欧拉函数听起来很高大上，但其实非常简单，也是NOIP里的一个基础知识，希望大家看完我的博客能有所理解。
数论是数学的一个分支，它只讨论正整数的性质，所以以下都是针对正整数进行研究的。

什么是欧拉函数

欧拉函数是小于\(x\)的整数中与\(x\)互质的数的个数，一般用\(\varphi(x)\)表示。特殊的，\(\varphi (1)=1\)。

如何计算欧拉函数

通式： \(\varphi(x)=x \cdot \prod_{i=1}^n{\left(1-\frac{1}{p_i}\right)},\quad\varphi(1)=1\)
其中\(p_1,p_2,\cdots, p_n\)为\(x\)的所有质因数，\(x\)是正整数。

那么，怎么理解这个公式呢？对于\(x\)的一个质因数\(p_i\)，因为\(x\)以内\(p_i\)的倍数是均匀分布的，所以\(x\)以内有\(\frac{1}{p_i}\)的数是\(p_i\)的倍数，那么有\(1-\frac{1}{p_i}\)的数不是\(p_i\)的倍数。再对于\(p_j\)，同理，有\(1-\frac{1}{p_j}\)的数不是\(p_j\)的倍数，所以有\((1-\frac {1}{p_i})*(1-\frac {1}{p_j})\)的数既不是\(p_i\)的倍数，又不是\(p_j\)的倍数。最后就有\(\prod_{i=1}^n{(1-\frac{1}{p_i})}\)的数与\(x\)互质，个数自然就是\(x\cdot\prod_{i=1}^n{(1-\frac{1}{p_i})}\)。

不理解？没关系，举个例子。比如\(x=12\)，12以内有\(\frac {1}{2}\)的数是2的倍数，那么有\(1-\frac {1}{2}\)的数不是2的倍数（1,3,5,7,9,11），这6个数里又有\(\frac {1}{3}\)的数是\(3\)的倍数，只剩下\((1-\frac {1}{2})*(1-\frac{1}{3})\)的数既不是2的倍数，也不是3的倍数（1,5,7,11）。这样剩下的\(12*(1-\frac{1}{2})*(1-\frac{1}{3})\)，即4个数与12互质，所以\(\varphi(12)=4\)。

积性函数

先介绍一下什么是积性函数，后面将会用到。
若当\(m\)与\(n\)互质时，\(f(m∗n)=f(m)∗f(n)\)，那么\(f\)是积性函数。
若对任意正整数，都有\(f(m*n)=f(m)*f(n)\)成立，则\(f\)是完全积性函数。

欧拉函数的几个性质

1. 对于质数\(p\)，\(\varphi(p)=p−1\)

因为p是质数，所以1到n-1都与n互质。

2. 若\(p\)为质数，\(x=p^k\)，则\(\varphi(x)=p^k-p^{k-1}\)

\(x\)只有一个质因数\(p\)，根据公式\(\varphi(x)=x\cdot\prod_{i=1}^n{\left(1-\frac{1}{p_i}\right)}=x\cdot (1-\frac{1}{p})=p^k\cdot\left(1-\frac{1}{p}\right)=p^k-p^{k-1}\)

3. 欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数

若\(m,n\)互质，则\(\varphi(m∗n)=\varphi(m)∗\varphi(n)\)。特殊的，当\(m=2\)，\(n\)为奇数时，\(\varphi(2*n)=\varphi(n)\)。

\[\begin{aligned} \varphi(m)* \varphi(n) &= m*n * \prod_{i=1}^{a_m}{(1-\frac{1}{p_i})}*\prod_{i=1}^{a_n}{(1-\frac{1}{p_i})} \\ &= m*n * \prod_{i=1}^{a_m+a_n}{(1-\frac{1}{p_i})} \\ &= \varphi(m*n) \end{aligned}\]

4. 当\(n>2\)时，\(\varphi(n)\)是偶数

前几个都可以利用公式证明，这个却不行。

首先有一个基本事实：若\(n>m,\,\gcd(n,m)=1\)，则\(\gcd(n,n-m)=1\)。直白的说，如果与\(n\)互质的数一个是\(m\)，那么还存在另一个数\(n-m\)也与n互质。

（补充：反证法，设\(\gcd(n,n-m)=k \neq 1\)，则有\(a,b\in\mathbb{N}^+,\, a>b\)满足\(n=ak,\,n-m=bk\)，得\(m=(a-b)k\)，不符合\(\gcd(n,m)=1\)）

与\(n\)互质的数是成对出现的，所以\(\varphi(n)\)必为偶数。但还要排除\(m=n-m\)的情况：如果\(m=n-m\)，即\(n=2∗m\)，那么\(n>2\)时\(n,m\)必然不互质，与前提相悖，故\(m\neq n-m\)。

附上一个较为麻烦的证明

case 1：若\(n\)为质数，根据性质1，\(\varphi(n)=n-1\)必为偶数。
case 2：若\(n\)为合数，则可以写成\(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}\)（\(p_1,p_2,\cdots, p_n\)为\(n\)的质因数，\(k_1,k_2,\cdots,k_n\)为对应得指数），而欧拉函数是积性函数，\(\varphi(n)=\varphi(p_1^{k_1})\varphi(p_2^{k_2})\cdots \varphi(p_n^{k_n})\)，暂且只看\(\varphi(p_1^{k_1})\)，根据性质2得到\(\varphi(p_1^{k_1})=p_1^{k_1}-p_1^{k_1-1}=(p_1-1)p_1^{k_1-1}\)，其中\(p_1-1\)必为偶数，偶数乘以任何数均为偶数，故\(\varphi(n)\)为偶数。

5. 小于\(n\)的数中，与\(n\)互质的数的总和为\(\varphi(n)*n/2\)（\(n>1\)）

证明这个也要用到上面所说的基本事实。与\(n\)互质的数一个是\(m\)，那么还存在另一个数\(n-m\)也与\(n\)互质。所以与\(n\)互质的数的平均数是\(n/2\)，而个数又是\(\varphi(n)\)，可以得到这些数的和就是\(\varphi(n)*n/2\)。

6. \(n=\sum_{d|n}{\varphi(d)}\)，即n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n

证明1（理性的证明）：

这个证明起来有点麻烦。设\(F(n)=\sum_{d|n}{\varphi(d)}\)。

（1）如果\(n=1\)，\(\varphi(n)=1=n\)，满足\(F(n)=n\)。

（2）如果\(n\)是质数，\(\varphi(n)=n\left(1-\frac{1}{n}\right)=n-1\)，所以\(\varphi(n)+\varphi(1)=1\)，满足\(F(n)=n\)。

（3）如果\(n\)是一个质数\(p\)的幂，即\(n=p^k\)，因为\(p^k\)的因数只有\(1,p,p^2,p^3,\cdots,p^k\)，根据欧拉函数的性质2（\(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\)），代入计算

\(F(p^k)=\varphi(1)+\varphi(p)+\varphi(p^2)+...+\varphi(p^k)=1+(p-1)+(p^2-p)+...+(p^k-p^{k-1})=p^k\)

满足\(F(n)=n\)。

（4）如果\(n\)有多个质因子，即\(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}\)。

（4.1）首先证明\(F(n)\)是个积性函数：设\(m,n\)互质，则要证\(F(m∗n)=F(m)∗F(n)\)。

\[\begin{aligned} F(m)∗F(n) &= \sum_{i|m}{\varphi(i)}*\sum_{j|n}{\varphi(j)} \\ &= \varphi(i_1)*\varphi(j_1)+\varphi(i_1)*\varphi(j_2)+...+\varphi(i_1)*\varphi(j_{kn}) \\ &\quad +\varphi(i_2)*\varphi(j_1)+\varphi(i_2)*\varphi(j_2)+...+\varphi(i_2)*\varphi(j_{kn}) \\ &\quad +\cdots\\ &\quad +\varphi(i_{km})*\varphi(j_1)+\varphi(i_{km})*\varphi(j_2)+...+\varphi(i_{km})*\varphi(j_{kn}) \end{aligned} \]

其中\(i_1,i_2,\cdots ,i_{km}\)为\(m\)的所有因数，\(j_1,j_2,\cdots,j_{kn}\)为\(n\)的所有因数之和.

因为\(m\)与\(n\)互质，所以它们的因数也必然全都两两互质，而欧拉函数又是个积性函数，即\(\varphi(i_k*j_k)=\varphi(i_k)*\varphi(j_k)\)，那么上式又可以等价于\(\varphi(i_1*j_1)+\varphi(i_1*j_2)+\cdots+\varphi(i_{km}*j_{kn})\)。可以发现，\(i_1*j_1,i_1*j_2,\cdots,i_{km}*j_{kn}\)这些数构成了\(m∗n\)的所有因数。那么这些数的欧拉函数之和就等于\(F(m∗n)\)，所以\(F(m∗n)=F(m)∗F(n)\)，证得F是一个积性函数。

（4.2）根据（4.1）与（3），\(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}\)时，\(F(n)=F(p_1^{k_1})*F(p_2^{k_2})*\cdots*F(p_n^{k_n})=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}=n\) 成立。

综上，\(F(n)=n\)对所有的正整数\(n\)成立。

证明2（感性的证明）：

以12为例。12的因子有1,2,3,4,6,12。把与这些数互质的数列出来：

1 :1
2 :1
3 :1 2
4 :1 3
6 :1 5
12:1 5 7 11

不妨把这些数作为分母，把与这些数互质的数作为分子，写成分数形式：

1/1
1/2
1/3 2/3
1/4 3/4
1/6 5/6
1/12 5/12 7/12 11/12

显然，每一行的数的个数就是该行的分母的欧拉函数值。倘若把这些数都改成以12为分母的数：

12/12
6/12
4/12 8/12
3/12 9/12
2/12 10/12
1/12 5/12 7/12 11/12

可以发现，这些数是以12为分母，1~12为分子的所有数，所以个数为12个。所以与12互质的数的欧拉函数值之和就是12。这样，命题大概就被证明了吧。

【证明2·补充】个人认为更为严谨易懂的说明方法：

以12为例。我们把以12为分母，1~12为分子的分数列出，设为集合Q（共12个元素）：

Q = {1/12,2/12,3/12,...,11/12,12/12}

如果约分一下会得到：

Q = {1/12,1/6,1/4,1/3,5/12,1/2,7/12,2/3,3/4,5/6,11/12,1/1}

如果再整理一下，会发现：

Q = {1/1,  1/2,  1/3,2/3,  1/4,3/4,  1/6,5/6,  1/12,5/12,7/12,11/12}

发现它们对应12的因子（1,2,3,4,6,12）和与这些数互质的数。

1 :1
2 :1
3 :1 2
4 :1 3
6 :1 5
12:1 5 7 11

于是猜想：Q中12个元素就是12个（因子，与因子互质的数）数对，也是12所有的（因子，与因子互质的数）对。如果可以证明这个猜想，那么就证明了“n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n”。

现在我们不取12这个特殊值，直接取正整数\(n\)，并设集合\(Q\)为以\(n\)为分母、1~\(n\)为分子的数的集合。要证明上述猜想，只需证明下面两个事实：

1. 集合\(Q\)中任意一个元素\(q\)，可以对应唯一一个（因子，与因子互质的数）数对。

   显然，若\(q=a/b\)（已约分），那么\(b\)必为\(n\)的因数，\(a,b\)必然互质。上述事实成立。

2. \(n\)的任意一个（因子，与因子互质的数）数对，可以对应唯一一个集合\(Q\)中元素\(q\)。

   设这个数对为\((a,b)\)，那么\(a\)为\(n\)的因数且\(a<b\)，\(a,b\)互质，设\(n=a*k(k\in \mathbb{N}^+)\)，则一定存在唯一元素\(q=b*k/n\)与之对应（分母\(b*k<a*k=n\)，当\(a=1\)时例外（\(\varphi(1)=1\)），取等号（\(b=a=1\)），即对应元素\(n/n\)）。

由上述两个事实可知，\(Q\)中元素与（因子，与因子互质的数）数对是一一对应的关系（既不存在\(Q\)中元素无法对应数对，也不存在数对无法对应\(Q\)中元素），\(Q\)中元素的个数即为\(n\)的（因子，与因子互质的数）数对的个数，也就是“n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n”。

求欧拉函数

埃拉托斯特尼筛求欧拉函数

观察欧拉函数的公式，\(\varphi(x)=x\prod_{i=1}^n{(1-\frac{1}{p_i})}=x\prod_{i=1}^n{\frac{p_i-1}{p_i}}\)。我们用phi[x]表示\(\varphi(x)\)。可以一开始把phi[x]赋值为\(x\)，然后每次找到它的质因数就\(phi[x]=phi[x]/p_i∗(p_i−1)\)（先除再乘，避免溢出）。当然，若只要求一个数的欧拉函数，可以从1到sqrt(n)扫一遍，若\(\gcd(i,n)=1\)就更新phi[n]。复杂度为\(O(\log n)\)（代码就不给了）。那要求1~n所有数的欧拉函数呢？可以用埃拉托斯特尼筛的思想，每次找到一个质数，就把它的倍数更新掉。这个复杂度虽然不是\(O(n)\)，但还是挺快的（据说是\(O(n*\ln \ln n)\)，关于证明，可以点这里，虽然我看不懂）。
代码如下：

void euler(int n){
    for (int i=1;i<=n;i++) phi[i]=i;
    for (int i=2;i<=n;i++){
        if (phi[i]==i){//这代表i是质数
            for (int j=i;j<=n;j+=i){
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);//把i的倍数更新掉
            }
        }
    }
}

欧拉筛求欧拉函数

前提是要懂欧拉筛。每个数被最小的因子筛掉的同时，再进行判断。i表示当前做到的这个数，prime[j]表示当前做到的质数，那要被筛掉的合数就是i*prime[j]。若prime[j]在这个合数里只出现一次（i%prime[j]!=0），也就是i和prime[j]互质时，则根据欧拉函数的积性函数的性质，phi[i * prime[j]]=phi[i] * phi[prime[j]]。若prime[j]在这个合数里出现了不止一次（i%prime[j]=0），也就是这个合数的所有质因子都在i里出现过，那么根据公式，\(\varphi(i * prime[j])=prime[j] * i * \prod_{k=1}^n{(1-\frac{1}{p_k})} =\varphi(i) *prime[j]\)。复杂度为\(O(n)\)。
还是看代码吧：

void euler(int n){
	phi[1]=1;//1要特判 
	for (int i=2;i<=n;i++){
		if (flag[i]==0){//这代表i是质数 
			prime[++num]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for (int j=1;j<=num&&prime[j]*i<=n;j++){//经典的欧拉筛写法 
			flag[i*prime[j]]=1;//先把这个合数标记掉 
			if (i%prime[j]==0){
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//若prime[j]是i的质因子，则根据计算公式，i已经包括i*prime[j]的所有质因子 
				break;//经典欧拉筛的核心语句，这样能保证每个数只会被自己最小的因子筛掉一次 
			}
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];//利用了欧拉函数是个积性函数的性质 
		}
	}
}

总结

有关欧拉函数的性质，只需做个了解，而求欧拉函数的代码，却是一定要会写的。这只是走进数论世界的第一步。