简单证明圆锥体积为三分之一圆柱
把圆锥沿高分成\(k\)份，每份高\(\frac{h}{k}\)。
当这一份很薄时，可以近似为一个圆柱。
第\(n\)份半径：
\[\frac{nr}{k}
\]
第\(n\)份底面积：
\[\frac{\pi n^2 r^2}{k^2}
\]
第\(n\)份体积：
\[\frac{\pi hn^2r^2}{k^3}
\]
总体积：
\[\sum_{n=1}^{k}\frac{\pi hr^2}{k^3}n^2
\]
因为\(1^2+2^2+3^2+...+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)（平方数列求和公式）
所以总体积
\[\begin{aligned}
V &= \frac{\pi hr^2}{k^3}\cdot \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \\
&= \frac{\pi hr^2}{k^2}\cdot \frac{(k+1)(2k+1)}{6} \\
&= \pi hr^2 \frac{(1+\frac{1}{k})(2+\frac{1}{k})}{6}
\end{aligned}
\]
因为当\(k\)越来越大，总体积越接近于圆锥体积，\(\frac{1}{k}\)越接近于\(0\)
所以
\[V = \pi hr^2\frac{(1+\frac{1}{k})(2+\frac{1}{k})}{6} = \frac{\pi r^2 h}{3}
\]
因为\(V_{圆柱}=\pi r^2 h\)
所以\(V_{圆锥}\)是与它等底等高的圆柱体积的\(\frac{1}{3}\)
