解方程【数学推导】

题目

给出两个正整数 \(a,b\)，计算满足方程 \(a*x+b*y=x*y\) 的正整数 \((x,y)\) 的组数。\((1\leq t \leq10^3,1\leq n \leq 10^6)\)
题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/10746/E

分析

推导如下：

\[\begin{align} ax+by =xy\\ y =\frac{ax}{x-b}=\frac{a(x-b)+ab}{x-b}=a+\frac{ab}{x-b}\\ \end{align} \]

根据原方程，可知 \(x>b\)，因此求出 \(ab\) 的因子个数即为答案。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int M=1e6+5;
const int N=1e3+5;
int e[N],f[N],cnt,prime[M],cot;
bool vis[M];
void init()
{
    int maxn=1e6;
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!vis[i])
            prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=maxn;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
                break;
        }
    }
}
void devide(ll x)
{
    cot=0;
    for(int i=1;i<=cnt&&prime[i]*prime[i]<=x;i++)
    {
        if(x%prime[i]==0)
        {
            f[++cot]=prime[i];
            e[cot]=0;
            while(x%prime[i]==0)
            {
                x/=prime[i];
                e[cot]++;
            }
        }
    }
    if(x>1)
        e[++cot]=1;
}
int main()
{
    int t;
    init();
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        devide(1LL*a*b);
        int ans=1;
        for(int i=1;i<=cot;i++)
            ans=(e[i]+1)*ans;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}