E -Keep Graph Disconnected

题意

给出一个 \(N\) 个点，\(M\) 条无向边的图 \(G\)，点的标号从 \(1\) 到 \(N\) ，边的标号从 \(1\) 到 \(M\) ，第 \(i\) 条边连接点 \(a_i\) 和 \(b_i\) 。 满足下列要求的图称为好图：

• 点 \(1\) 和点 \(N\) 不能相连
• 图中不存在自环和重边

两个人轮流向图中加无向边，保证初始的图一定是一个好图。当一方无法保证图为好图的前提下向图中加边时，为输。求出每场游戏的胜者是谁。

• All values in input are integers.
• \(1≤T≤10^5\)
• \(2≤N≤10^5\)
• \(0≤M≤\min(N(N−1)/2,10^5)\)
• \(1≤a_i,b_i≤N\)
• The given graph is a good graph.
• In one input file, the sum of \(N\) and that of \(M\) do not exceed \(2×10^5\).

题目链接：https://atcoder.jp/contests/arc105/tasks/arc105_e

分析

可以确定最后的图中一定包含两个联通块，一个是包含 \(1\) 的，一个是包含 \(N\) 的，假设二者的大小分别是 \(n\) 和 \(N-n\)。可以知道，能够添加的边的数量是 \(\frac{N(N-1)}{2}-n(N-n)-M\)，该式为奇数时，先手胜；否则，后手胜。

• 当 \(N\) 是奇数时，\(n\) 和 \(N-n\) 中必然存在一奇一偶，即 \(n(N-n)\) 的结果是偶数，那么只要判断 \(\frac{N(N-1)}{2}-M\) 的奇偶即可；
• 当 \(N\) 是偶数时，假设初始时刻， \(1\) 所在的联通块的大小为 \(x\) ，\(N\) 所在的联通块的大小为 \(y\) 。接下来对于 \(\frac{N(N-1)}{2}-xy-M\) 中的 \(x,y\) 的奇偶进行讨论：
  • 当 \(x\) 和 \(y\) 的奇偶性不同时，因为 \(N\) 为偶数，所以先手必然可以比后手多操作一次。那么，当 \(\frac{N(N-1)}{2}-M\) 为奇数时，先手先操作，使得 \(x,y\) 变成偶数，然后不管后手怎么操作，先手都可以将它的操作抵消。当 \(\frac{N(N-1)}{2}-M\) 为偶数时同理。所以，不管 \(\frac{N(N-1)}{2}-M\) 是奇数还是偶数，先手都可以将局势向对自己有利的方向转化，故先手必胜；
  • 当 \(x\) 和 \(y\) 的奇偶性相同时，无论先手和后手怎么操作， \(\frac{N(N-1)}{2}-xy-M\) 的奇偶性都不会改变，故先手和后手的胜利取决于该式的初始值。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
vector<int>pic[N];
bool vis[N];
int dfs(int u)
{
    vis[u]=1;
    int res=1;
    for(int i=0;i<pic[u].size();i++)
    {
        int v=pic[u][i];
        if(!vis[v])
            res+=dfs(v);
    }
    return res;
}
int main()
{
    int T,n,m;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            pic[i].clear();
        for(int i=1;i<=n;i++) vis[i]=0;
        int a,b;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            pic[a].pb(b);
            pic[b].pb(a);
        }
        if(n&1)
        {
            ll sum=1LL*n*(n-1)/2-m;
            if(sum&1) printf("First\n");
            else printf("Second\n");
        }
        else
        {
            int x=dfs(1);//cout<<"x="<<x<<endl;
            int y=dfs(n);//cout<<"y="<<y<<endl;
            if(x%2!=y%2) printf("First\n");
            else
            {
                ll sum=1LL*n*(n-1)/2-1LL*x*y-m;
                if(sum&1) printf("First\n");
                else printf("Second\n");
            }
        }
    }
    return 0;
}