Function【莫比乌斯反演+数论方块】-2020百度之星初赛1
题意:
分析:
题目要求的是:
\[\sum_{i=1}^{n}{\sum_{t|i}{t[gcd(t,\frac{i}{t})==1]}}
\]
推导:
\[\begin{align}
S(n) &= \sum_{i=1}^{n}{\sum_{t|i}{t[gcd(t,\frac{i}{t})==1]}}\\
& = \sum_{i=1}^{n}{\sum_{t|i}{t\sum_{d|(t,\frac{i}{t})}{\mu(d)}}}\\
& = \sum_{d=1}^{n}{\mu(d)\sum_{t=1}^{\lfloor n/d \rfloor}{td\sum_{i=1}^{\lfloor n/dt^2 \rfloor}{1}}}
\end{align}
\]
令 \(T=d^2t\),
\[\begin{align}
S(n) &= \sum_{T=1}^{n}{\left(\sum_{i=1}^{\lfloor n/T \rfloor}{1} \right)\sum_{d^2|T}{\mu(d)\lfloor \frac{T}{d} \rfloor}}\\
& = \sum_{T=1}^{n}{\lfloor \frac{n}{T} \rfloor \sum_{d^2|T}{\mu(d)\lfloor \frac{T}{d} \rfloor}}\\
& = \sum_{d=1}^{\sqrt{n}}{\mu(d)d\sum_{T=1}^{\lfloor n/d^2 \rfloor}{\lfloor \frac{n/d^2}{T} \rfloor T}}
\end{align}
\]
令 \(G(k)=\sum_{i=1}^{k}{\lfloor \frac{k}{i} \rfloor i}\),
\[\begin{align}
S(n) &= \sum_{d=1}^{\sqrt{n}}{\mu(d)d}G(\lfloor \frac{n}{d^2} \rfloor)
\end{align}
\]
实现时,\(G(k)\) 和 最终公式的计算均可以借助分块,复杂度:\(O(\sqrt{n}logn)\)。
代码:
实现说明:
1.在预处理 \(1e6\) 以内的 \(G(k)\) 时,采用了枚举因子的处理方式,很巧妙,大于 \(1e6\) 时采用直接分块的方式;
2.不能直接对 \(S(n)\) 进行分块,故使用代码中的方式确定区间的右端点;
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int N=1e6+6;
int mu[N];
int prime[N],cnt;
bool vis[N];
ll g[N],sum[N],inv2=500000004;
ll getsum(ll x)
{
ll res=0;
x%=mod;
res=(1+x)*x%mod*inv2%mod;
return res;
}
void init()
{
int maxn=1e6;
mu[1]=1;
cnt=0;
memset(vis,false,sizeof(vis));
for(int i=2;i<=maxn;i++)
{
if(!vis[i])
{
prime[++cnt]=i;
mu[i]=-1;
}
for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=maxn;j++)
{
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
mu[i*prime[j]]=0;
break;
}
else
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
for(int d=1;d<=maxn;d++)//1e6以内G(k)
{
for(int i=d;i<=maxn;i+=d)
g[i]=(g[i]+d)%mod;
}
sum[0]=0;
for(int i=1;i<=maxn;i++)
{
sum[i]=(sum[i-1]+1LL*mu[i]*i+mod)%mod;//i*mu[i]的前缀和
g[i]=(g[i]+g[i-1])%mod;//G(k)
}
}
ll solve(ll k)
{
if(k<=1e6) return g[k];
ll res=0;
for(ll l=1,r;l<=k;l=r+1)
{
r=min(k,k/(k/l));
res=(res+(k/l)*(getsum(1LL*r)-getsum(1LL*(l-1)))%mod+mod)%mod;
}
return res;
}
int main()
{
int test;
init();
scanf("%d",&test);
while(test--)
{
ll n,ans=0;
scanf("%lld",&n);
ll m=floor(sqrt(1.0*n));
for(ll l=1,r;l<=m;l=r+1)//好像不能直接用分块写
{
ll t=1LL*l*l;
ll x=n/t;
r=l;
while(n/(1LL*r*r)==x) r++;
r--;
ans=(ans+(sum[r]-sum[l-1])*solve(x)%mod+mod)%mod;
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
参考博客:https://blog.csdn.net/weixin_44282912/article/details/107454309