Set1【组合数】-2020杭电多校5

题意：

给你一个集合 \(S=\{1..n\}\)。保证 \(n\) 是奇数，必须执行以下操作，直到集合中只有一个元素：
首先删除 \(S\) 的最小元素（操作 \(1\)），然后从 \(S\) 中随机删除另一个元素（操作 \(2\)）。对于每个 \(i∈[1，n]\) ，确定 \(i\) 留在 \(S\) 中的概率。
题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6825

分析：

首先，可以发现对于 \(1\leq i \leq \lfloor \frac{n}{2} \rfloor\)，其概率均为 \(0\)，因为这些数必然会在每次取集合最小数的操作中被取掉。
对于 \(i>\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\)，其后面的 \(n-i\) 个数，必然是在操作 \(2\) 中被去掉，并且和某一个小的数配对。
其方案数为：

\[\left( \begin{matrix} i-1\\ n-i \end{matrix} \right) *(n-i)! \]

其中的 \((n-i)!\) 是对 \(i\) 后面的 \((n-i)\) 个数进行排列，与前面选出的数进行配对。
对于前面的剩余的 \(i-1-(n-i)=2*i-n-1\) 个数，两两进行配对选择，即每次选取 \(2\) 两个数，但由于每次配对后，每组的位置就确定了，因此要去除排列，
方案数为：

\[\frac{\left( \begin{matrix} 2i-n-1\\ 2,2,2...2 \end{matrix} \right)}{(\frac{2i-n-1}{2})!} \]

所以最终 \(i\) 保留下来的方案数为：

\[\begin{align} cnt[i] & = \left(\begin{matrix}i-1\\n-i\end{matrix}\right)*(n-i)!* \frac{\left(\begin{matrix}2i-n-1\\2,2,2...2\end{matrix}\right)}{(\frac{2i-n-1}{2})!}\\ & = \frac{(i-1)!}{2^{\frac{2i-n-1}{2}}}*\frac{1}{(\frac{2i-n-1}{2})! } \end{align} \]

令 \(sum=\sum_{i=1}^{n}{cnt[i]}\)，为总的方案数。那么，\(i\) 保留下来的概率为：\(P_i=\frac{cnt[i]}{sum}\)

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=998244353;
const int N=5e6+5;
ll fac[N],inv[N],cnt[N],invf[N];
ll power(ll a,ll b)
{
    ll res=1;
    a%=mod;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=res*a%mod;
        b>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return res;
}
void init()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    invf[N-5]=power(fac[N-5],mod-2);
    for(int i=N-6;i>=0;i--)
        invf[i]=invf[i+1]*(i+1)%mod;
    inv[0]=1;
    inv[1]=1LL*499122177;
    for(int i=2;i<N;i++)
        inv[i]=inv[i-1]*inv[1]%mod;
}
int main()
{
    int T,n;
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        ll sum=0;
        for(int i=1;i<=n/2;i++) cnt[i]=0;
        for(int i=n/2+1;i<=n;i++)
        {
            cnt[i]=fac[i-1]*inv[(2*i-n-1)/2]%mod*invf[(2*i-n-1)/2]%mod;
            sum=(sum+cnt[i])%mod;
        }
        ll inv_sum=power(sum,mod-2);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            printf("%lld%c",cnt[i]*inv_sum%mod,i==n?'\n':' ');
    }
    return 0;
}