概率&数学期望训练题集
1.Headshot UVA - 1636：
分析：
分类讨论，比较两种情况下没有子弹射出的概率大小；
(1).如果直接射击，要使得没有子弹射出，且在第一次没有子弹射出的条件下，即求 \(00\) 串数量占 \(00\) 和 \(01\) 总数量的比例（条件概率）；
(2).如果要转一下再射击并保证没有子弹，即求串中 \(0\) 的数量占整个串长度的比例；
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
char ss[110];
int main()
{
while(scanf("%s",ss+1)!=EOF)
{
int n=strlen(ss+1);
int a=0,b=0,c=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
c+=(ss[i]=='0'?1:0);
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(ss[i]=='0'&&ss[i-1]=='0')
b++;
else if(ss[i]=='1'&&ss[i-1]=='0')
a++;
}
if(ss[n]=='0'&&ss[1]=='0')
b++;
else if(ss[n]=='0'&&ss[1]=='1')
a++;
int x=c*(a+b),y=n*b;
if(y>x)
printf("SHOOT\n");
else if(y<x)
printf("ROTATE\n");
else
printf("EQUAL\n");
}
return 0;
}
2.Cows and Cars UVA - 10491：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int a,b,c;
while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&c)!=EOF)
{
double ans=(1.0*b*(b-1)+1.0*a*b)/(1.0*(a+b)*(a+b-c-1));
printf("%.5f\n",ans);
}
return 0;
}
3.Probability|Given UVA - 11181：
分析：
由题意可知，该题为一道条件概率。
条件概率公式：
\[P(A_i|B)=\frac{P(A_i*B)}{P(B)}
\]
其中，\(P(B)\) 为 \(n\) 个人中恰好有 \(r\) 个人购买商品的概率，\(P(A_i*B)\) 表示 \(n\) 个人中恰好有 \(r\) 个人购买商品且第 \(i\) 个人一定购买的概率。
采用子集枚举的方法，枚举情况求出各个概率。
输入以 \(n=0\) 结束。
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
double p[25],ans[25],sum;
void solve(int n,int r)
{
sum=0;
for(int i=0;i<n;i++)
ans[i]=0;
for(int i=0;i<(1<<n);i++)
{
int t=i,cnt=0;
while(t)
{
if(t&1)
cnt++;
t>>=1;
}
if(cnt!=r)
continue;
double tmp=1.0;
for(int j=0;j<n;j++)
tmp=tmp*(((i>>j)&1)?p[j]:1-p[j]);//cout<<"tmp"<<tmp<<endl;
sum+=tmp;
for(int j=0;j<n;j++)
ans[j]+=(((i>>j)&1)?tmp:0);
}
}
int main()
{
int n,r,cot=0;
while(scanf("%d%d",&n,&r),n)
{
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%lf",&p[i]);
solve(n,r);
printf("Case %d:\n",++cot);
for(int i=0;i<n;i++)
printf("%.6f\n",ans[i]/sum);
}
return 0;
}
/*
3 2
0.10
0.20
0.30
5 1
0.10
0.10
0.10
0.10
0.10
*/
4.Double Patience UVA - 1637：
分析：
记忆化搜索+状态压缩。
每个状态对应一个概率，不同状态之间进行转移，以 \(5\) 进制进行状态压缩。
\(cnt\) 没有初始化，找了好久。
代码：
#include<bits/stdc++.h>//记忆化搜索
using namespace std;
const int N=2e6;
const int maxn=1953125;//状态总数5^9
double ans[N];
int power[12];
char card[10][5];
void init()
{
power[0]=1;
for(int i=1;i<=9;i++)
power[i]=power[i-1]*5;
}
double dfs(int n)
{
if(ans[n]>=0)
return ans[n];
int a[10]={0},m=n,t=0;
ans[n]=0;
while(m)//转化为5进制的状态表示数
{
a[t++]=m%5;
m/=5;
}
t=0;
for(int i=0;i<9;i++)
{
if(a[i]==0)
continue;
for(int j=i+1;j<9;j++)
{
if(a[j]==0)
continue;
if(card[i][a[i]-1]==card[j][a[j]-1])
{
t++;
ans[n]+=dfs(n-power[i]-power[j]);
}
}
}
if(t==0)//没有状态可以转移
return (ans[n]=0);
else
return (ans[n]/=t);
}
int main()
{
char ss[5]={0};
int cnt=0;
init();
while(scanf("%s",ss)!=EOF)
{
cnt=0;
card[cnt/4][cnt%4]=ss[0];
cnt++;
while(cnt<36)
{
scanf("%s",ss);
card[cnt/4][cnt%4]=ss[0];//cout<<ss[0]<<endl;
cnt++;
}
memset(ans,-1,sizeof(ans));
ans[0]=1;
printf("%.6f\n",dfs(maxn-1));
}
return 0;
}
/*
AS 9S 6C KS
JC QH AC KH
7S QD JD KD
QS TS JS 9H
6D TD AD 8S
QC TH KC 8D
8C 9D TC 7C
9C 7H JH 7D
8H 6S AH 6H
*/
5.Tribles UVA - 11021
题意：
有 \(k\) 只麻球，每只只活一天，临死之前可能会出生一些新的麻球，具体出生 \(i\) 个麻球的概率为 \(P_i\)，给定 \(m\)，求 \(m\) 天后麻球全部死亡的概率。
分析：
因为每只麻球的情况都是一样的，因此只对一只麻球讨论，然后求结果的 \(k\) 次方即可。
令 \(f[i]\) 表示一只麻球 \(i\) 天内死亡的概率，有：\(f[i]=p[0]+p[1]*f[i-1]+p[2]*f[i-1]^2+...\)
从后向前递推。
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
double p[1010],f[1010];
int main()
{
int t,n,m,k,cas=0;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d%d",&n,&k,&m);
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%lf",&p[i]);
f[0]=0;
f[1]=p[0];
for(int i=2;i<=m;i++)
{
f[i]=0;
for(int j=0;j<n;j++)
f[i]+=p[j]*pow(f[i-1],j);
}
printf("Case #%d: %.7f\n",++cas,pow(f[m],k));
}
return 0;
}
