博弈论
一.典型的博弈模型：
Nim博弈的一些思考：
1.无法进行任何移动的局面（也就是 \(terminal position\) ）是 \(P-position\)；
2.对于 \(P-position\)，一定存在某种方式可以移动到 \(N-position\) 的局面；
3.对于 \(N-position\)，所有移动都导致 \(P-position\) 的局面。
证明：
1.\((0,0)\) 为无法移动的状态，且为 \(P-position\) ；
2.
令 \(t=a_1 \bigoplus a_2 \bigoplus ... \bigoplus a_n!=0\)，为当前状态。
假设 \(a_i\to a_i^{'}\)，使得 \(a_1 \bigoplus a_2 \bigoplus ...\bigoplus a_i^{'} \bigoplus ... \bigoplus a_n=0\)
必然会有一个 \(a_i\) 使 \(t\) 的二进制最高位是 \(1\)，且 \(a_i \bigoplus t<a_i\)。
那么令 \(a_i^{'}=a_i \bigoplus t\)，有
\(a_1 \bigoplus a_2 \bigoplus ...\bigoplus (a_i \bigoplus t) \bigoplus ... \bigoplus a_n=0\)
得证。
3.
\(a_1 \bigoplus a_2 \bigoplus ...\bigoplus a_i \bigoplus ... \bigoplus a_n=0\)
假设 \(a_i\to a_i^{'}\)，则
\(a_1 \bigoplus a_2 \bigoplus ...\bigoplus a_i^{'} \bigoplus ... \bigoplus a_n=0\)
所以 \(a_i=a_i^{'}\)。
当把 \(a_i\) 取走之后，剩余的数量的异或和等于 \(a_i\)，为 \(P-position\)。
不满足要求。
二.一般的博弈：
1.\(N/P\)分析：
\(P\)点：必败点，无论谁处于此位置，则在双方操作正确的情况下必败。
\(N\)点：必胜点，处于此情况下，双方操作均正确的情况下必胜。
必胜点和必败点的性质：
1、所有终结点是 必败点 \(P\) 。（我们以此为基本前提进行推理，换句话说，我们以此为假设）
2、从任何必胜点 \(N\) 操作，至少有一种方式可以进入必败点 \(P\)。
3、无论如何操作，必败点 \(P\) 都只能进入必胜点 \(N\)。
我们研究必胜点和必败点的目的时间为题进行简化，有助于我们的分析。通常我们分析必胜点和必败点都是以终结点进行逆序分析。这种分析方法可以帮助我们从以下题目中寻找到规律。
例题：
1.hdu1847
2.hdu2147
2.\(SG\)函数的运用：
\(Sprague-Grundy\)定理（\(SG\)定理）：
游戏和的 \(SG\) 函数等于各个游戏 \(SG\) 函数的 \(Nim\)和（各个数相异或的结果）。这样就可以将每一个子游戏分而治之，从而简化了问题。而 \(Bouton\) 定理就是 \(Sprague-Grundy\) 定理在\(Nim\)游戏中的直接应用，因为单堆的 \(Nim\) 游戏 \(SG\) 函数满足 \(SG(x) = x\)。
\(SG\)函数：
先定义 \(mex(minimal excludant)\) 运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。
例如\(mex\{0,1,2,4\}=3\)。
对于任何状态 \(x\)，\(SG[x]=mex\{S\}\)，其中 \(S\) 为 \(x\) 的后继状态的 \(SG\) 函数值的集合。比如 \(x\) 的后继状态有 \(a,b,c\)，那么\(SG[x]=mex\{SG[a],SG[b],SG[c]\}\)。
集合\(f\)表示到达其后继状态的途径。
例子：
比如有一堆石子 \(n\) 个，每次可以取\(\{1,3,4\}\)个，那么个数的\(SG\)函数值：
\(SG[0]=0\)，为最终态。
\(x=1\) 时，\(f=\{1\}\)，后继状态：\({0}\)，所以 \(SG[1] = mex\{ SG[0] \}= mex\{0\} = 1\);
\(x=2\) 时，\(f=\{1\}\)，后继状态：\({1}\)，所以 \(SG[2] = mex\{ SG[1] \}= mex\{1\} = 0\);
\(x=3\) 时，\(f=\{1,3\}\)，后继状态：\({0,2}\)，所以 \(SG[3] = mex\{SG[0],SG[2]\}= mex\{0,0\} = 1\);
\(x=4\) 时，\(f=\{1,3,4\}\)，后继状态：\({0,1,3}\)，所以 \(SG[4] = mex\{ SG[0],SG[1],SG[3] \}= mex\{0,1,1\} = 2\);
求解 \(SG\)函数代码：
//f[N]:可改变当前状态的方式，N为方式的种类，f[N]要在getSG之前先预处理
//SG[]:0~n的SG函数值
//S[]:为x后继状态的集合
int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
void getSG(int n){
int i,j;
memset(SG,0,sizeof(SG));
//因为SG[0]始终等于0，所以i从1开始
for(i = 1; i <= n; i++){
//每一次都要将上一状态 的 后继集合 重置
memset(S,0,sizeof(S));
for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
S[SG[i-f[j]]] = 1; //将后继状态的SG函数值进行标记
for(j = 0;; j++) if(!S[j]){ //查询当前后继状态SG值中最小的非零值
SG[i] = j;
break;
}
}
}
例题：Fibonacci again and again HDU - 1848
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=19;
int fb[maxn],s[1005],sg[1005];
void init()
{
fb[0]=1;
fb[1]=1;
for(int i=2;i<maxn;i++)
fb[i]=fb[i-1]+fb[i-2];
}
int get_sg(int x)
{
memset(sg,0,sizeof(sg));
for(int i=1;i<=x;i++)
{
memset(s,0,sizeof(s));
for(int j=1;j<maxn&&fb[j]<=i;j++)
s[sg[i-fb[j]]]=1;
for(int j=0;j<=i;j++)
{
if(s[j]==0)
{
sg[i]=j;
break;
}
}
}
return sg[x];
}
int main()
{
int m,n,p;
init();
while(scanf("%d%d%d",&m,&n,&p),m||n||p)
{
int a=get_sg(m);
int b=get_sg(n);
int c=get_sg(p);
if((a^b^c)==0)
printf("Nacci\n");
else
printf("Fibo\n");
}
return 0;
}
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三.\(green\)博弈/树链博弈：
问题：
给定一棵有根树，\(A\) 和 \(B\)分别轮流删边，删边后不与根联通的子树也一并删去。
先考虑一个简单的模型：如果这棵树是一条链，那么就跟取石子一样；
再考虑一个复杂一点的，在根上再加一条链，那么，这就变成了取 \(2\) 堆石子的问题了。其\(SG\)值正是这 \(2\) 条链的异或，因此，我们可以将这 \(2\) 条链等效成长度为其\(SG\)值的异或值的链。
进而我们利用这个性质，将一个个分支简化成一条条链，这样，一棵树最终会被等效成一条链。
#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=1005;
vector<int>pic[N];
int depth[N],num[N],w[N],maxn;
void dfs(int v,int p,int d)
{
depth[v]=d;
if(w[v]==1)
num[d]++;
maxn=max(d,maxn);
for(int i=0;i<pic[v].size();i++)
{
int u=pic[v][i];
if(u==p)
continue;
dfs(u,v,d+1);
}
}
int main()
{
int n,u,v;
maxn=0;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&w[i]);
for(int i=1;i<n;i++)
{
scanf("%d%d",&u,&v);
pic[u].pb(v);
pic[v].pb(u);
}
dfs(1,0,0);
int cnt=0;
for(int i=0;i<=maxn;i++)
{
if(num[i]&1)
cnt++;
}
if(cnt==0)
printf("Second\n");
else
printf("First\n");
return 0;
}
Gameia HDU - 6105
BZOJ2819 Nim 博弈论+树链剖分
