Moving On Gym - 102222F【Floyd深入理解】

题意：

给出一张完全图，\(n\) 个点，任意两点间距离已知，由矩阵 \(d\) 给出。每个点有一个权重 \(r\)。
有 \(q\) 次询问，每次问从点 \(u\) 到点 \(v\) 的，满足不经过点权大于 \(w\) 的点的最短路径长度。

数据范围：
\(1\leq T \leq50,1≤n≤200,1≤q≤2×10^4,1≤r_i≤10^5,1≤d_{i,j}≤10^5(i≠j),d_{i,i}=0\;and\;d_{i,j}=d_{j,i},1≤u,v≤n\;and\;1≤w≤10^5\)

分析：

一开始用 \(q\) 次迪杰特斯拉，复杂度：\(O(T*q*nlogn)\)，以为能卡过，结果果断 \(t\)。
正解：
  \(Floyd\) 的深度理解。\(Floyd\) 的算法中，会用第三个点来更新两个点之间的最短距离，即松弛。用 \(dis[k][i][j]\) 表示用前 \(k\) 个点松弛后，任意两点 \(i,j\) 之间的最短距离。由此，我们可以想到（当然没想到），如果选择点权没有超过 \(w\) 的点来更新任意点的最短距离，那么问题不就解决了吗。只要把点权从小到大进行排序，依次用来松弛，询问时，对应输出即可。
复杂度：\(O(T*n^3)\)

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
#define ft first
#define sd second
typedef pair<int,int>P;
const int N=210;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int dis[N][N][N];
P point[N];
void read(int &x)
{
    x=0;
    int f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    x*=f;
}
void init(int n)
{
    sort(point+1,point+1+n);
    for(int k=1;k<=n;k++)//排序后的前k个点
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                dis[k][i][j]=dis[k-1][i][j];
                if(dis[k-1][i][point[k].sd]+dis[k-1][point[k].sd][j]<dis[k][i][j])
                    dis[k][i][j]=dis[k-1][i][point[k].sd]+dis[k-1][point[k].sd][j];
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int t,q,n,cot=0;
    read(t);
    while(t--)
    {
        int u,v,w;
        read(n);
        read(q);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            read(point[i].ft);
            point[i].sd=i;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                read(dis[0][i][j]);
        init(n);
        printf("Case #%d:\n",++cot);
        while(q--)
        {
            read(u);
            read(v);
            read(w);
            int ans=dis[0][u][v];
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                if(point[i].ft>w)
                    break;
                ans=min(dis[i][u][v],ans);
            }
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}