蓝桥杯 地宫寻宝（DP or DP+记忆化搜索）
蓝桥杯 地宫寻宝
X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。
地宫的入口在左上角，出口在右下角。
小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。
走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。
当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。
请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。
【数据格式】
输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)
接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值
要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。
例如，输入：
2 2 2
1 2
2 1
程序应该输出：
2
再例如，输入：
2 3 2
1 2 3
2 1 5
程序应该输出：
14
资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 2000ms
请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。
所有代码放在同一个源文件中，调试通过后，拷贝提交该源码。
注意：不要使用package语句。不要使用jdk1.7及以上版本的特性。
注意：主类的名字必须是：Main，否则按无效代码处理。
题解：
先%一发我伟大的队长 杰哥tql
引入：m×n的方格，从左下角走到右上角，总共的路径为C(m+n) m = C(m+n) n
1 #include<cstdio>
2 #define ll long long
3 int val[58][58];
4 ll C[118][118],dp[58][58][18]={0},mod=1000000007;
5 //dp[x][y][k]表示x,y位置上的宝物作为第k个被拿的方案数
6 void init()//求组合数
7 {
8 C[0][0]=1;
9 for(int i=1;i<=100;i++)
10 {
11 C[i][0]=1;
12 for(int j=1;j<=i;j++)
13 {
14 if(j<=i/2)
15 C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
16 else
17 C[i][j]=C[i][i-j];
18 }
19 }
20 }
21 int main()
22 {
23 init();
24 int n,m,K;
25 scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
26 for(int i=0;i<n;i++)
27 for(int j=0;j<m;j++)
28 scanf("%d",&val[i][j]);
29 ll ans=0;
30 for(int i=0;i<n;i++)
31 for(int j=0;j<m;j++)
32 {
33 //i,j位置上的宝物是第一个被拿的方案数即从开始地点走到i,j位置的方案数
34 dp[i][j][1]=C[i+j][i];
35 for(int k=i;k>=0;k--)//这两层循环表示i,j位置可以由哪些位置走到
36 for(int l=j;l>=0;l--)
37 {
38 if(val[k][l]<val[i][j])
39 for(int t=2;t<=K;t++)
40 dp[i][j][t]=(dp[i][j][t]+(dp[k][l][t-1]*C[i-k+j-l][i-k])%mod)%mod;//C[i-k+j-l][i-k]相当于从k,l位置走到i,j位置的方案数
41 }
42 ans=(ans+(dp[i][j][K]*C[n-1-i+m-1-j][n-1-i])%mod)%mod;//从i,j位置到n-1,m-1位置的方案数
43 }
44 printf("%lld\n",ans);
45 return 0;
46 }
以及大众化的记忆化搜索写法：
1 import java.util.Scanner;
2
3 public class Main {
4 static int[][][][] dp = new int[55][55][15][15];
5 static int[][] a = new int[55][55];
6 static int[][] vis = new int[55][55];
7 static int[][] dir = {{0,1},{1,0}};
8 static int mod = 1000000007;
9 static int n,m,k;
10 static int dfs(int x,int y,int step,int maxv) {
11 if(dp[x][y][step][maxv]!=-1)
12 return dp[x][y][ step][maxv];
13 int cnt = 0;
14 if(x==n-1&&y==m-1) {
15 if((step == k-1&&maxv<a[x][y])||(step==k)) {
16 return dp[x][y][step][maxv] = 1;
17 }
18 return dp[x][y][step][maxv] = 0;
19 }
20 for(int i=0;i<2;i++) {
21 int tx = x+dir[i][0];
22 int ty = y+dir[i][1];
23 if(tx<0||ty<0||tx>=n||ty>=m||vis[tx][ty]==1) {
24 continue;
25 }
26 vis[tx][ty] = 1;
27 if(a[x][y]>maxv) {
28 cnt = (cnt+dfs(tx, ty, step+1, a[x][y]))%mod;
29 }
30 cnt = (cnt + dfs(tx, ty, step, maxv))%mod;
31 vis[tx][ty] = 0;
32 }
33 return dp[x][y][step][maxv] = cnt%mod;
34 }
35 public static void main(String[] args) {
36 Scanner cin = new Scanner(System.in);
37 n = cin.nextInt();
38 m = cin.nextInt();
39 k = cin.nextInt();
40 for(int i=0;i<55;i++)
41 for(int j=0;j<55;j++)
42 for(int k=0;k<15;k++)
43 for(int l=0;l<15;l++)
44 dp[i][j][k][l] = -1;
45 for(int i=0;i<n;i++)
46 for(int j=0;j<m;j++) {
47 a[i][j] = cin.nextInt();
48 a[i][j]++;
49 }
50
51
52 System.out.println(dfs(0,0,0,0));
53 }
54
55 }
