剑指offer--剪绳子，动态规划

今日学了思路，待补充

题目：

将长度为n的绳子剪成若干段，并求各段长度乘积的最大值。

思路：

 1、动态规划
    设f(n)代表长度为n的绳子剪成若干段的最大乘积，如果第一刀下去，第一段长度是i，那么剩下的就需要剪n-i，那么f(n)=max{f(i)f(n-i)}。而f(n)的最优解对应着f(i)和f(n-i)的最优解，假如f(i)不是最优解，那么其最优解和f(n-i)乘积肯定大于f(n)的最优解，和f(n)达到最优解矛盾，所以f(n)的最优解对应着f(i)和f(n-i)的最优解。首先，剪绳子是最优解问题，其次，大问题包含小问题，并且大问题的最优解包含着小问题的最优解，所以可以使用动态规划求解问题，并且从小到大求解，把小问题的最优解记录在数组中，求大问题最优解时就可以直接获取，避免重复计算。
    n<2时，由于每次至少减一次，所以返回0。n=2时，只能剪成两个1，那么返回1。n=3时，可以剪成3个1，或者1和2，那么最大乘积是2。当n>3时，就可以使用公式进行求解。
    f(4)=max{f(1)f(3), f(2)f(2)}
    f(5)=max{f(1)f(4), f(2)f(3)}
    ...
    f(n)=max{f(1)f(n-1), f(2)f(n-2), f(3)f(n-3), ..., f(i)(fn-i), ...}
    因为需要保证f(i)f(n-i)不重复，就需要保证i<=n/2，这是一个限制条件，求1～n/2范围内的乘积，得到最大值
 2、贪心算法
    n<2时，返回0；n=2时，返回1；n=3时，返回2
    根据数学计算，当n>=5时，2(n-2)>n，3(n-3)>n，这就是说，将绳子剪成2和(n-2)或者剪成3和(n-3)时，乘积大于不剪的乘积，因此需要把绳子剪成2或者3。并且3(n-3)>=2(n-2)，也就是说，当n>=5时，应该剪尽量多的3，可以使最后的乘积最大。对于长度是n的绳子，我们可以剪出n/3个3，剩余长度是1或者2，如果余数是1，就可以把1和最后一个3合并成4，那么4剪出两个2得到的乘积是4，比1*3大，因此这种情况下，需要将3的个数减少1，变成两个2；如果余数是2，那么无需做修改。
    可以得到最大的乘积是：3^timesOf3 * 2^timesOf2
    相比动态规划，计算更简便，但是需要一定的数学技巧。
原文：https://blog.csdn.net/upupday19/article/details/79315885

动态规划+贪婪

https://blog.csdn.net/upupday19/article/details/79315885

public class Cut_string {
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(maxAfterCutting(8));
        }
    //需要O(n^2)的时间复杂度和O(n)的空间复杂度的动态规划思路
    public static int maxAfterCutting(int length) {
        if(length<2)
            return 0;
        if(length==2)
            return 1;
        if(length==3)
            return 2;
        //子问题的最优解存储在F数组中，数组中第i个元素表示将长度为i的绳子剪成若干段
        int [] f = new int[length+1];
        f[0]=0;
        f[1]=1;
        f[2]=2;
        f[3]=3;
        int result = 0;
        for(int i = 4;i<=length;++i) {
            int max = 0;
            for(int j = 1;j<=i/2;++j) {
                int num = f[j]*f[i-j];
                if(max<num)
                    max=num;
                f[i] = max;
            }
        }
        result = f[length];
        return result;    
    }
}

 有待继续学习。