Kruskal重构树学习笔记+BZOJ3732 Network
今天学了Kruskal重构树，似乎很有意思的样子~
先看题面：
题目大意：$n$ 个点 $m$ 条无向边的图，$k$ 个询问，每次询问从 $u$ 到 $v$ 的所有路径中，最长的边的最小值。
$1\leq n\leq 15000,1\leq m\leq 30000,1\leq k\leq 20000$。
我相信你们看见这题的想法和我一样：
货车运输！最小生成树上LCA一下就行了！时间复杂度 $O(m\log m+n\log n+k\log n)$。（这里LCA用倍增。树链剖分复杂度是多一个 $log$ 的）
但是这题有另一种做法：Kruskal重构树。
（这种用到路径最长边值等一般都能用Kruskal重构树）
Kruskal重构树是什么？和Kruskal求最小生成树有什么关系？
我们先来看一下Kruskal重构树的一些性质。
Kruskal重构树是由原图的 $n$ 个点，新添加的 $n-1$ 个点和 $2n-2$ 条边构成的树。
（以下讨论的Kruskal重构树都是最小Kruskal重构树，最大Kruskal重构树反之亦然）
下面是一个图和它的Kruskal重构树：（圆点是原图中的点，方点是新加的点）
它的性质有：
- 一棵二叉树
- 叶子结点都是原图中的点，没有点权；非叶子结点都是新加的点，有点权
- 旧点 $u,v$ 两点间（不包括 $u,v$）的所有节点（都是新点）的点权最大值为原图中 $u,v$ 两点间所有路径的最长边的最小值
- 新点构成一个堆（不一定是二叉堆），在最小Kruskal重构树中是大根堆（最大Kruskal重构树中是小根堆）
- 结合性质3和4，旧点 $u,v$ 两点的LCA（是新点）权值为原图中 $u,v$ 两点间所有路径的最长边的最小值
比如点 $1,3$ 的LCA权值为 $3$，恰好是原图中 $1,3$ 两点间所有路径的最长边的最小值（边 $(3,5)$）。
Kruskal重构树怎么求呢？
- 找到一条边权最小的，且没有被遍历过的边。
- 如果这条边连接的两个点目前没有在一个联通块，那么新建一个节点，点权为该边的边权，左右儿子设为这两个点的最远祖先。（通过设置儿子为最远祖先合并联通块且不破坏性质）
- 重复1,2直到遍历完所有的边。
画个图了解一下，下图中红点是该边连接的两个点，绿点和绿边是添加的点和边：（点我食用这张图会更佳）
如何用代码实现？像普通的Kruskal一样，维护一个路径压缩并查集，其中 $fa$ 数组不止止是判断在哪个集合，更是标记在重构树上的父亲。这也是为什么要路径压缩而不是按秩合并的原因，因为这样可以更快求得最远祖先。
每处理一条边，先判连通性，如果不连通那么把这两个点的最远祖先的 $fa$ 都设成新加的点，同时连边即可。注意，不能反过来，否则重构树在并查集上的结构会被破坏。
至于旧点之间，怎么连边，连那些边？参见性质2。
（其实就是不用连边，我好啰嗦啊）
回到原题：建出最小Kruskal重构树，每次LCA一下即可。
这里顺便说一下，如果原图不保证联通怎么办，如何预处理？（以下的代码中我也判了两点不连通的情况）
两点不连通可以用建Kruskal重构树中的并查集知道。而预处理，每次如果一个点没有dfs到，那么从这个点的最远祖先dfs一遍（也可以用并查集知道）。
为什么要最远祖先呢？因为这样是对的且省时间，均摊 $O(\alpha(n))$。自己感受一下
（洛谷上货车运输那题是有不连通的图的测试点，我写重构树时第一次没有从最远祖先开始dfs，感受一下：）
时间复杂度：若用树链剖分求LCA是 $O(m\log m+n\log n+k\log n)$，复杂度更优。虽然常数大一点，但是学了一个新算法不是很好吗？
（读者：浪费时间，散了散了）
代码：（附带判断不连通）
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; struct edge1{ //一开始的边，方便排序 int u,v,w; bool operator<(const edge1 e)const{ return w<e.w; } }e1[30030]; struct edge2{ //重构树上的边（虽然只有两个儿子但这样写舒服） int to,nxt; }e2[30030]; //重构树的点数是原图的约2倍，但是没有双向边 int n,m,q,el1,el2,cnt,root; int u_fa[30030],w[30030],head[30030]; //u_fa是并查集的fa，w是新节点的权值 int dep[30030],fa[30030],son[30030],size[30030],top[30030]; inline void add1(int u,int v,int w){ //原图加边 e1[++el1]=(edge1){u,v,w}; } inline void add2(int u,int v){ //重构树加边 e2[++el2]=(edge2){v,head[u]}; head[u]=el2; } int getfa(int x){ //路径压缩 return x==u_fa[x]?x:u_fa[x]=getfa(u_fa[x]); } void dfs1(int u,int f){ fa[u]=f; dep[u]=dep[f]+1; size[u]=1; int maxson=-1; for(int i=head[u];i;i=e2[i].nxt){ int v=e2[i].to; if(v==fa[u]) continue; dfs1(v,u); size[u]+=size[v]; if(size[v]>maxson) maxson=size[v],son[u]=v; } } void dfs2(int u,int topf){ top[u]=topf; if(!son[u]) return; dfs2(son[u],topf); for(int i=head[u];i;i=e2[i].nxt){ int v=e2[i].to; if(v==fa[u] || v==son[u]) continue; dfs2(v,v); } } int calc(int u,int v){ if(getfa(u)!=getfa(v)) return -1; //如果不连通 while(top[u]!=top[v]){ if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v); u=fa[top[u]]; } return dep[u]<dep[v]?w[u]:w[v]; //LCA的权值 } int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=m;i++){ int u,v,w; scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); add1(u,v,w); } sort(e1+1,e1+m+1); //从小到大排序 for(int i=1;i<=2*n-1;i++) u_fa[i]=i; cnt=n; for(int i=1;i<=m;i++){ int u=e1[i].u,v=e1[i].v; //操作的两个点 u=getfa(u);v=getfa(v); if(u==v) continue; //已经联通，跳过 w[++cnt]=e1[i].w; //新建一个点 u_fa[u]=u_fa[v]=cnt; //设置父亲！ add2(cnt,u);add2(cnt,v); //加边（不需要双向边） } for(int i=1;i<=cnt;i++) //只需要遍历存在的点（图不连通的话点数可能没到2n-1） if(!dep[i]) //如果这个点没有被搜过 dfs1(getfa(i),0),dfs2(getfa(i),getfa(i)); //那就从最远祖先开始搜 scanf("%d",&q); for(int i=1;i<=q;i++){ int u,v; scanf("%d%d",&u,&v); printf("%d\n",calc(u,v)); } }
另外今年的NOI2018D1T1正解也是Kruskal重构树，以后再慢慢杠吧，留个坑等着补题解。
