《欧拉图相关的生成与计数问题探究》学习笔记

1 基本概念

好多都没用。

欧拉图：存在欧拉回路。

半欧拉图：不存在欧拉回路但存在欧拉路径。

2 欧拉图的判定

小学奥数。

3 欧拉回路的生成

3.1 Fluery 算法

实在不想学这玩意……

3.2 Hierholzer 算法

相信大家都会。如果觉得自己不会，那么大概率是不知道叫这个名字。

问题 3.5：字典序最小的欧拉回路。字典序按照点的序列比较。

显然从最小的点开始。每个点的出边按出点从小到大排序。然后直接跑。

正确性大概注意到回溯过程中又走了别的边（也就是拼上了另一条路径/回路），那肯定是无法避免的（不然回不去了）。所以每次都是尽可能选了最小的路径/回路拼了进去。

4 欧拉图相关的性质

说些看起来都是废话但就是会降智的东西，我能怎么办。

5 欧拉图的生成问题

5.1 De Bruijn 序列

还是杂题选讲。

不过就是给出一个思路：看起来哈密顿的，可以反客为主把表示成点变成表示成边，然后欧拉。

5.2 混合图欧拉回路

实际上就是对无向边定向使得每个点出入度相等。

随便钦定每条边的方向，然后调整。记录每个点的出入度之差，反转一条边相当于入点 \(-2\)，出点 \(+2\)。

只保留原图中的无向边（且按钦定的方向连边），然后一开始差为正的从源点连，差为负的连向汇点。跑最大流，如果满流就调整成功了，然后通过每条边有没有流满还原方案。否则无解。

5.3 中国邮递员问题

每条边至少经过一次，考虑钦定每条边的经过次数，仍然要使得每个点出入度相等。

同样记录出入度之差，添加一条边的经过次数，相当于入点 \(-1\)，出点 \(+1\)。

类似 5.2 的方法建图即可，不过由于要最小费用，变成费用流。同样是不满流无解。

5.4 冲国邮递员问题（？）

无向图也一样。不过只需要每个点度数变成偶数就行。但不能拆点，所以直接看成每个度数是奇数的点两两匹配，权值是最短路。然后写奇怪的一般图匹配算法。

6 欧拉图相关的计数

6.1 欧拉图计数

我寻思着这和欧拉回路有什么关系。

6.2 欧拉子图计数

我寻思着这和欧拉回路有什么关系。

我还以为是什么导出子图，结果来个这。

6.3 欧拉回路计数

正 片 开 始

6.3.1 有向图欧拉路径

给定一个有向半欧拉图 \(G = (V, E)\) ，求以 \(1\) 号点为终点的欧拉路径的数量，其中保证 \(1\) 号点出度比入度小 \(1\)。（此处论文只讨论了欧拉图，实际上个人认为半欧拉图也可以求，若有不对请指出）

（若是欧拉图，就从 \(1\) 开始，具体过程差不多。）

搞一个人类智慧双射。答案是 \(T_1d_1!\prod_{i\ne 1}(d_i-1)!\)。其中 \(T_1\) 是以 \(1\) 为根的内向树个数，可以用矩阵树定理求。

其意义是选出一个内向树，然后对每个点不在树上的出边，定顺序。

\(\leftarrow\)：从起点（显然唯一确定）开始，按顺序走没被走过的最小的非树边，若没有就走树边。要证这是一条欧拉回路，只需证明走非树边 \((u,v)\) 时它们两个弱联通即可（论文中说要 Fluery 算法？还是不想学，实际上因为前面从起点走出一条路径，应该是显然等价于欧拉图的判定条件的）。因为 \(u\) 还在走非树边，说明树边没被走过。其父亲因为不是最后一次到达，也说明它的没被走过。同理可以从 \(v\) 也推到 LCA。

\(\rightarrow\)：除了 \(1\) 号点，把每个点最后一次走的出边设成树边。要证明这是一棵树，也就是没有环。反证。如果有环，那么就死在这个环上了。而 \(1\) 显然不在环上，和 \(1\) 是终点矛盾。

6.3.2 有向图欧拉回路

与上面几乎一样，不过要对 \(1\) 走出的第一条边进行区分，也就是除掉 \(d_1\)，得到 \(T_1\prod(d_i-1)!\)。

这就是 BEST 定理。同时也可看出欧拉图上 \(T_i\) 相等。

（写到这里突然发现讨论了半欧拉图的路径数量，可以直接转成欧拉图欧拉回路。不过式子一样，应该没问题）

6.3.3 无向图欧拉路径/回路

NPC。

就这？

7 总结

正 片 结 束