《浅谈生成函数在掷骰子问题上的应用》学习笔记

1 引言

我就是写了你会看吗。

2 符号约定

相信大家都会。

3 预备知识

3.1 普通生成函数

相信大家都会。

3.2 概率生成函数

我寻思这篇论文要讲的东西怎么成前置知识了

其实就是把 \(X=i\) 的概率开了生成函数。（即 \(E(z^X)\)）

3.2.1 概率生成函数性质

根据定义显然 \(F(1)=1,E(x)=F'(1)\)。

更一般地，\(E(x^{\underline{k}})=F^{(k)}(1)\)，其中 \(k\in\N_+\)。代入 \(k=2\) 也能算方差。

3.3 border

？

4&5&6 基本题型&复杂的题型&一些新的应用

a.k.a. 唯一题型

[CTSC2006] 歌唱王国

\(f_i\) 表示第 \(i\) 秒结束的概率，\(g_i\) 表示第 \(i\) 秒没结束的概率。\(a_i\) 表示 \(i\) 是否是一个 border。

\[F(x)+G(x)=1+xG(x)\\ G(x)(\frac{x}{m})^n=\sum_{i}a_iF(x)(\frac{x}{m})^{n-i} \]

第一个显然。第二个是拼上原序列一定结束了，但是可能提前结束，枚举结束的位置。

要求 \(F'(1)\)，接下来就瞎导瞎代就行了。

求方差也一样。

[SDOI2017] 硬币游戏

\(f_{i,j}\) 表示第 \(j\) 秒结束在第 \(i\) 个串的概率。和上面差不多，第一个式子一样，后面枚举拼上哪个序列和提前结束在哪个序列，最后需要一个消元。

HDU 4652

同样设第 \(i\) 秒结束和没结束的概率，第一个式子还是一样，第二个式子同样直接加入 \(n\) 个相同/不同的数并枚举提前结束的位置。

蛤？

\(f_i\) 表示 \(=i\) 时结束的概率，但 \(g_i\) 要换，表示 \(=i\) 的期望次数不算结束（怀疑此处论文笔误，原文未指出不算结束的一次）。

\[F(x)+G(x)=G(x)\frac{x}{2}+\frac{G(1)}{2}+1\\ F(x)=G(x)\frac{x}{n} \]

第二个显然，第一个也差不多。\(+1\) 是初始时是 \(0\)。

（至于概率和期望相加这种比较反直觉的东西，考虑枚举时刻拆开期望，就没问题了）

代入 \(x=1\) 可以求出 \(G(1)\)（这破玩意还需要这样求？），然后解出 \(G(x)\) 的封闭形式，进一步求出 \(F(x)\) 的封闭形式，然后再求导。

7 总结

点击这个标签页最上面的那个叉。