ZROI 暑期高端峰会 A班 Day4 树上数据结构

FBI Warning：本文含有大量人类的本质之一。

你经历过绝望吗？

[ZJOI2007]捉迷藏

询问树上最远黑点对。

动态边分治可以比点分治少一个 \(\log\)。

bzoj3730

咕了。

[ZJOI2015]幻想乡战略游戏

动态维护一棵树的带权重心。每个点度数 \(\le 20\)。

暴力：从根往最重的跳，能跳就跳。

动态点分治加速即可。

边分治？链分治？

边分治和点分治很像，找一条边使得剩下部分尽量平衡。

不过直接这样会被菊花图卡掉。

然后就要……用某些方法变成二叉树。

咕了。这么重要的东西，肯定回来补的。

[Ynoi2012]D1T3

开 幕 雷 击

每次查询时，考虑在点分树上找到深度最浅的点，满足这个点被保留区间点 \(x\) 所在连通块包含。暴力跳即可。

那么把根固定下来统计。具体就是问子树中对于点满足它到根的路径上有 \(\min\ge l,\max\le r\)，不同的颜色数有多少。

询问离线按根分类，对每个根按 \(l\) 排序，CDQ 分治即可。

floj 307 不可知圆环/CF1010F

一棵树，可以随意删边，问使得 \(1\) 所在连通块大小为 \(k\) 的方案数。

明显可以 DP。\(f_{x,i}\) 表示 \(x\) 的子树，删到 \(x\) 所在连通块恰好为 \(i\) 方案数。

写成生成函数的形式：\(F_u(x)=x\prod(F_v(x)+1)\)。

树链剖分。对于每条重链：

\(F_u(x)\) 表示考虑重儿子的生成函数，\(A_u(x)\) 表示不考虑重儿子的生成函数再乘上 \(x\)。

对于重链底端，\(F_u(x)=A_u(x)\)。否则 \(F_u(x)=A_u(x)(F_v(x)+1)\)。

对于一条重链分治求。对于两条重链之间暴力。复杂度应该是三个 \(\log\)。

[Ynoi2012]D2T3

对于度数小于等于根号的点，暴力。

对于度数大于根号的点，点数不会太多。

这种做法是根号的。

套路：对每个点，只维护轻儿子。修改时只有轻边的父亲需要动态维护。

由于轻边只有 \(\log\) 条，复杂度就是两个 \(\log\)。

又是链分治

咕了。

百度必应边分治和链分治去了……

UOJ191

发现明显是个上凸包。

然后把操作看成是操作树，末尾加一个元素看作走向一个儿子，末尾删除一个儿子看作回溯。

就是问一条路径的上凸包中，某个点处的值。

然后就是询问一条链上的上凸包。可以启发式合并。（不知道能不能李超线段树……）

复杂度应该是两个 \(\log\)。

？？？

\(n\) 个点的树，\(q\) 次操作，修改单点点权或者询问最大权值连通块。

动态 DP。就是子树内包含/不包含根的。没了。

？？？

一棵树，每个点可以用 \(a_u\) 代价选中子树中所有叶子。每次单点修改 \(a\)，询问选中所有叶子的最小代价。

DP。\(f_u\) 表示……

动态 DP 套路，重链剖分。没了。

LCT

太棒了终于有会的了

动态DP

太棒了终于又有会的了

注意的是也可以用 LCT 维护。神奇的是，这里 LCT 跑得更快。

？？？

\(n\) 个人（\(0\) 到 \(n-1\)），第 \(i\) 个人手上有个 \(a_i\)

最开始有个数 \(x=0\)。从 \(0\) 到 \(n-1\)，每个人可以选择是否变成 \((x+a_i)\bmod n\)

游戏结束后第 \(x\) 个人获胜

每个人采取如下策略：只有当变了 \(x\) 能必胜，且不变不必胜的情况下，他才会变动 \(x\)。

\(q\) 次操作，每次修改 \(a_i\)，询问谁获胜。

\(n,q\le 10^5\)

首先肯定只会最多一个人动手。因为如果两个人动手，前面那个人就没有必胜了，矛盾。

而且动了手后 \(x\) 一定会变成 \(i\)。

\(i\) 朝 \((i-a_i)\bmod n\) 连边。当 \((i-a_i)\bmod n\ge i\) 时毫无意义，因为 \(x\) 一定是移动后能必胜才变的，所以对于前 \(i\) 个人不可能变出 \(\ge i\) 的数。

这形成了一个森林（大点往小点连边）。

只考虑有 \(0\) 的那棵树。

\(f_x\) 表示如果从 \(0\) 一路变到 \(fa_x\)，\(x\) 是否会选择把它变成 \(x\)。

然后就是个开枪游戏（？），LCT 维护动态 DP 即可。

Codechef Pushflow

\(n\) 个点的图，每个点最多属于一个简单环（点仙人掌？），边有边权。

\(m\) 次操作，询问两点之间最大流，或者修改一个边权。

\(n,m\le 10^5\)

最大流就是最小割。

最小割要么是切环上两条边，要么是切一条树边。

对于环边，肯定有一条是最小边，那么把它删掉，并把它的边权加到这个环上其它边的边权上。

那么此时剩下的肯定是一棵树，就是求链上最小值了。

修改边权，如果是树边，直接搞；如果是环边，就需要更新最小值和树形态了。

用 LCT 可以做到 \(O(m\log n)\)。（大常数……）

WineDAG's Prevention

\(n\) 个点的树 \(q\) 次操作，单点修改点权，翻转路径上点权，询问路径和、最大值、最小值。

\(n,q\le 10^5\)

考虑 LCT。对每一块用一棵 Splay 维护形态，另一棵权值 Splay 维护权值，次序一一对应。

复杂度 \(O(q\log n)\)。

CF1137F

给一棵树，每个点有一个优先级，初始为自己的标号。……

先把最大标号作为根。

考虑 \(x\) 和 \(y\) 哪个先被删。

如果 \(x\) 是 \(y\) 的祖先，明显 \(y\) 先被删。

否则就比较子树最大值，小的那个先被删。

由于每次会把一个点改成最大值+1，考虑 LCT 维护 access 连续段，等价于换根，并且整体修改到原来跟上一段路径的子树最大值。

然后就是查询全局排名。

？？？

三部分点 A,B,C，各有 \(n_1,n_2,n_3\) 个点。

其中 AB 构成一棵树，AC 构成一棵树，A 之间的点没有连边。

随机 \(i,j\) 把 \(B_1\) 到 \(B_i\)，\(C_1\) 到 \(C_j\) 删了，问 \(A\) 仍然联通的概率。

\(n_i\le 10^5\)

发现 \(i\) 递增的时候，使得 \(A\) 联通的 \(j\) 递减。

动态维护连通性即可。（然而这玩意我还没打过……）