min-max容斥学习笔记

min-max容斥，实际上是两个很简单的式子：

$\min(S)=\sum\limits_{T\subseteq S,T\neq \varnothing}(-1)^{|T|+1}\max(T)$

$\max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S,T\neq \varnothing}(-1)^{|T|+1}\min(T)$

证明略。

而且这个式子对期望也成立：

$E(\min(S))=\sum\limits_{T\subseteq S,T\neq \varnothing}(-1)^{|T|+1}E(\max(T))$

$E(\max(S))=\sum\limits_{T\subseteq S,T\neq \varnothing}(-1)^{|T|+1}E(\min(T))$

所以经常（？）用来做一些有趣的期望题。

比如说：

[HAOI2015] 按位或（题解）

重返现实（Todo）