bzoj3142 luogu3228 HNOI2013 数列

这题好没意思啊，怀疑拉不开区分度。

 

题意：求一个递增序列，每两个相邻数字之间的差值不超过m，最后一个值不能大于n。

 

分析：网上好多人用了差分，我没想到。然后YY了一发生成函数。

考虑构造生成函数G(x) = x+x²+...+x^m.

我们的目标是求这个G^(k-1)(x)的很多个前缀和。

具体来说是求什么呢？

这题的重点其实在于一个注意不到的细节：(k-1)*m<n。

这意味着，当第一项为1时，所有的答案一定被满足。

也就是说，当第一项为1时，对应的答案是G^(k-1)(x)的所有项数之和。

实际上通过举例子，你会发现这样一个性质：[x^i+k-1]G^(k-1)(x) = [x^(k-1)*m-i]G^(k-1)(x) 其中i的范围自己想一下。

这个性质怎么证明呢：归纳

考虑将Gⁱ(x)除以xⁱ，然后乘以G(x)/x，然后把除的东西乘上。由于上一个具有这样的对称性，画图之后我们发现乘的时候是对称的，那么这个性质仍然满足。

 

通过我们对高斯的了解，我们知道他10岁的时候想到了1加到100的方法，他非常聪明，而我们只能照葫芦画瓢。

什么意思呢，我们考虑第一项为i的时候，在某个位置的时候出现了第一个不满足的序列。

然后从后往前，在某个位置出现了第一个满足的序列。

把两个匹配在一起，这样子我们得到了一个完整的序列，即(m)^(k-1).

 

众所周知，高斯是个很聪明的孩子,那么他用的方法很可能是将1到100翻倍然后两两配对，最后除以2。这个方法在这不好用。

我们不容易确认2在这个模数下有逆。

 

取而代之的方法是用类似1配99，2配98的方法。考虑多了一项怎么办。

不难发现的是，多出来的一项一定是配出来的结果的一半，不说明了。

做这个答案的时候一定要先留下一个m，将这个m除以2再乘进去。

 

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll n,k,m,mod;
ll pw,maxx;

ll fast_pow(int now,int p){
    if(p == 0) return 1;
    if(p == 1) return now;
    ll z = fast_pow(now,p/2);
    z *= z; z %= mod;
    if(p & 1) z*=now,z%=mod;
    return z;
}
    
int main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&m,&mod);
    maxx = (k-1)*m;
    if(k == 1){printf("%lld",n);return;}
    pw = fast_pow(m,k-1);
    ll fir = n-maxx+1; // diyige youxiaci de
    ll lst = n-(k-1); // zuihouyige youxiacide
    ll len = lst-fir+1,multi = len/2;
    ll ans = ((multi+n-maxx)%mod)*pw; ans %= mod;
    if(len & 1){
        pw = fast_pow(m,k-2);
        pw *= (m/2);pw %= mod;
        ans += pw;ans %= mod;\
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}