动态规划

• A ： "1+1+1+1+1+1+1+1 =？"
• A ： "上面等式的值是多少"
• B ： 计算 "8"
• A : 在上面等式的左边写上 "1+" 呢？
• A : "此时等式的值为多少"
• B : 很快得出答案 "9"
• A : "你怎么这么快就知道答案了"
• A : "只要在8的基础上加1就行了"
• A : "所以你不用重新计算，因为你记住了第一个等式的值为8!动态规划算法也可以说是 '记住求过的解来节省时间'"

问题举例：70. 爬楼梯 

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

方法1：带备忘录的递归解法

方法2：自底向上的动态规划

动态规划典型特征：最优子结构、状态转移方程、边界、重叠字问题

• f(n-1)和f(n-2) 称为 f(n) 的最优子结构
• f(n)= f（n-1）+f（n-2）就称为状态转移方程
• f(1) = 1, f(2) = 2 就是边界啦
• 比如f(10)= f(9)+f(8),f(9) = f(8) + f(7) ,f(8)就是重叠子问题。

什么样的问题适合用动态规划？

如果一个问题，可以把所有可能的答案穷举出来，并且穷举出来后，发现存在重叠子问题，就可以考虑使用动态规划。

一道动态规划问题，其实就是一个递推问题。假设当前决策结果是f(n)，则最优子结构就是要让 f(n-k) 最优，最优子结构性质就是能让转移到n的状态是最优的，并且与后面的决策没有关系，即让后面的决策安心地使用前面的局部最优解的一种性质。

问题举例：现有一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

 

高数Umaru系列（9）——哈士奇

Description

由于高数巨养的喵星人太傲娇了，要天天吃新鲜猫粮而且还经常欺负高数巨，所以高数巨决定买几条哈士奇尝尝鲜。这天高数巨来到了二手狗市场买哈士奇，高数巨看完了所有的哈士奇，记下了每条哈士奇的价格，并根据对它们的好感程度给它们每只都赋予了一个萌值。高数现在手里有X元，她想通过购买若干条哈士奇来获得尽可能多的萌值。现在给定高数巨手里的钱X以及N条哈士奇的价格和萌值，求高数巨最多可获得多少萌值

Input

 多组输入。

对于每组输入，第一行有两个整数N，X（1 < = N < = 100，1 < = X < = 1000），分别表示哈士奇的数量和高数巨的钱数

接下来的N行每行有两个整数Pi，Mi（1 < = Pi,Mi < = 100），分别表示第i条哈士奇的价格和萌值

Output

对于每组数据，输出一个整数，表示高数巨最多可以获得的萌值，每组输出占一行

Samples

Sample #1

Input 

Output 

2 100
50 20
60 40
3 100
20 55
20 35
90 95
1 10
20 50

40
95
0

#include<stdio.h>
#include<string.h>

int max(int x, int y)
{
    if(x>y) return x;
    else return y;
}

int main()
{
    int p[105], m[105], a[105][1005], n, x, i, j;
    while(~scanf("%d %d", &n, &x))
    {
        for(i=1;i<=n;i++) // 从1开始，因为0是边界也是值！因为这里Wa了10+次
        {
            scanf("%d %d", &p[i], &m[i]);
        }
        memset(a, 0, sizeof(a)); // 每次都需要初始化

        for(i=1;i<=n;i++) // 第几个哈士奇
        {
            for(j=1;j<=x;j++) // 价钱
            {
                if(p[i] <= j) // 买得起，可以买，也可以不买
                    a[i][j] = max(a[i-1][j], a[i-1][j-p[i]] + m[i]);
                else a[i][j] = a[i-1][j]; // 买不起，就不买
            }
        }
        printf("%d\n", a[n][x]);
    }
    return 0;
}