整除分块（数论分块）

一个有♂趣的问题：

求\(\sum_{i=1}^N \lfloor \frac Ni \rfloor\) ，\(N \leq 10^{12}\)

显然不能直接做废话

经过一番冷静推理暴力打表 ，我们发现以下性质：

$ 1. \large \lfloor \frac Ni \rfloor$最多只有\(2\sqrt{N}\)种取值

证明：对于\(i\le \sqrt{N},\) 只有 \(\sqrt{N}\) 种，对于 \(i>\sqrt{N},\large{\frac Ni}<\sqrt{N}\)，也只有 \(\sqrt{N}\) 种取值，共计 \(2 \sqrt{N}\) 种\(\;\;\Box\)

\(2.\) 设 $\large \lfloor \frac N{i'} \rfloor $ 与 \(\large \lfloor \frac Ni \rfloor\) 相等，则 \(i'\) 的最大值为 $\large \left \lfloor \frac N{\left \lfloor \frac Ni \right \rfloor\ } \right \rfloor $

证明：

设 \(\large{ \lfloor \frac Ni \rfloor}=k\) ,于是可以写成 \(ki+p=N,1\le p<i\) 的形式，若 \(\large{\lfloor \frac N{i+d} \rfloor}=k\) ,于是有 \(k(i+d)+p'=N\) ,可以得到 \(p'=p-kd\) ,则 \(d\) 能取的最大值为 \(\large \lfloor \frac pk \rfloor\) ,于是 :

\[\begin{aligned}i'&=i+d_{max} \\ &=i+\lfloor \frac pk \rfloor \\&=i+\left \lfloor \frac {N \;mod\; i}{\lfloor \frac Ni \rfloor} \right \rfloor \\ &=i+\left \lfloor \frac {N-\lfloor \frac Ni\rfloor i}{\lfloor \frac Ni \rfloor} \right \rfloor \\ &=\left \lfloor i + \frac {N-\lfloor \frac Ni\rfloor i}{\lfloor \frac Ni \rfloor} \right \rfloor \\ &=\left \lfloor \frac{\lfloor \frac Ni \rfloor i}{\lfloor \frac Ni \rfloor} + \frac {N-\lfloor \frac Ni\rfloor i}{\lfloor \frac Ni \rfloor} \right \rfloor \\ &=\left \lfloor \frac N{\lfloor \frac Ni \rfloor} \right \rfloor \quad \quad\Box\end{aligned} \]

然后，设两个指针 \(L\) 和 \(R\) ， \(L\) 的初始值为 \(1\) ，每次令 \(\large R=\left \lfloor \frac N{\lfloor \frac NL \rfloor} \right \rfloor\) ，将 \(\large (R-L+1)\cdot \lfloor \frac NL \rfloor\) 累加至答案中 ，再令 \(L=R+1\)

由于 \(\large \lfloor \frac NL \rfloor\) 只有 \(2\sqrt N\) 种取值 ，且单调递减，则最多只有 \(2\sqrt N\) 个取值不同的段，时间复杂度为 \(O(\sqrt N)\)