Wannafly挑战赛12 D矩阵计数

Wannafly挑战赛12 D矩阵计数

• 题意：给一个n x m的01矩阵，其中C个格子是1，其余全是0。求有多少全0的子矩阵。
  答案对\(10^9+7\)取模。

• 思路：首先，全0的子矩阵=所有子矩阵-含1的子矩阵， 我们只需要对所有的值为1的格子，求出包含这个点的子矩阵数量\(s_i\)（还要保证不重复计数），那么\(ans = \sum_{i=1}^{C}s_i\)

• 如何求\(s_i\)：

  • 首先来看一个例子，如图：
    

  • 对于所有值为1的格子，我们先排序(先按x轴再按y轴排)，对于上图中的第一个点(2, 2)，先计算包含这个点的所有子矩阵，显然是\((x-1+1)*(y-1+1)*(n-x)*(m-y+1)=2*2*4*4=64\),(x-1+1),(y-1+1),(n-x),(m-y+1)分别代表这个点距上边界，左边界，下边界，右边界的距离；

  • 再看第二个点， 由于要保证不会重复计数，计算\(s_2\)时不能包含第一个点，所以需要计算的部分如下图：
    

  • 第三个点：
    

  • 总结：对于每个点，我们可以找到它再每一行可以拓展到的最大左右区间，然后乘以这个区间的高度和这个点到最后一行的距离，然后求和即是我们要求的\(s_i\)。

• Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 5005;
const ll mod = 1e9+7;
int n, m, c;
struct P{
    int x, y;
    P() {}
    P(int x, int y): x(x), y(y) {}
    bool operator < (const P &t) const {
        return x == t.x ? y < t.y : x < t.x;
    }
} p[maxn];
 
int main() {
    while(~scanf("%d %d %d", &n, &m, &c)) {
        for(int i = 1; i <= c; i++) {
            scanf("%d %d", &p[i].x, &p[i].y);
        }
        sort(p + 1, p + c + 1);
        ll ans = 0;
        for(int i = 1; i <= c; i++) {
            for(int j = i - 1, l = 1, r = m; j >= 0; j--) {
                if(p[j+1].x != p[j].x) ans=(ans+(n-p[i].x+1LL)%mod*(r-p[i].y+1)%mod*(p[i].y-l+1)%mod*(p[j+1].x-p[j].x)%mod)%mod;
                if(p[j].y <= p[i].y) l = max(l, p[j].y+1);
                if(p[j].y >= p[i].y) r = min(r, p[j].y-1);
            }
        }
        printf("%lld\n", ((n*(n+1LL)/2)%mod*((m*(m+1LL)/2)%mod)%mod-ans+mod) % mod);
    }
    return 0;
}