卢卡斯定理

Lucas定理是用于处理组合数取模的定理，通常用于解决阶乘无法解决的问题。

本质上来说，卢卡斯定理是一类处理当组合数 $C_n^m\mathrm{mod}p$ 中 $n,m,p$ 皆为 ${10}^5$ 范围内的数时求解答案的方法。

当 $n,m,p$ 较小的时候可以考虑使用杨辉三角递推得到，但是此时用这种方法显然不能很好的解决此问题，所以我们考虑寻找一种更优的方法来减少运算，使得运算的难度降低。

首先给出卢卡斯定理

$$C_n^{m}modp=C_{n/p}^{m/p}\ast C_{n\mathrm{mod}p}^{m\mathrm{mod}p}modp$$

证明

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设 $n=a\cdot p+b,m=c\cdot p+d(b,d<p,a=\lfloor \frac{n}{p}\rfloor ,c=\lfloor \frac{m}{p}\rfloor )$

首先，由费马小定理得，对于任意整数：$$(1+x{)}^p\equiv 1+x\equiv 1+x^p(modp)$$ $$\Rightarrow (1+x{)}^n=(1+x{)}^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor \times p}\times (1+x{)}^b$$

$$\Rightarrow \sum _{i=0}^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }{C}_{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }^i{X}^{pi}\times \sum _{k=0}^b{C}_b^k\times X^k$$

观察 $X^m$ 这一项 $\Rightarrow p\cdot i+k=m$

$$\Rightarrow LHS=C_n^m$$

$$\Rightarrow RHS=C_{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }^i\times C_b^k=C_{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }^{\lfloor \frac{m}{p}\rfloor }\times C_b^d$$

故可以推出

$$C_n^{m}modp=C_{n/p}^{m/p}\ast C_{n\mathrm{mod}p}^{m\mathrm{mod}p}modp$$

证毕。

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inline int qpow(int a,int b){
    int res=1;
    while(b){
    	if(b&1){
    		res*=a,res%=p;
		}
		a*=a,a%=p;
		b>>=1;
	}
    return res;
}
inline int C(int n,int m){
	if(n < m) return 0;
	if(m > n - m) m = n - m;
	int a = 1 , b = 1;
	for(int i=0;i<m;i++){
		a = (a * (n - i)) % p;
		b = (b * (i + 1)) % p;
	}
	return a * qpow(b,p-2) % p;
}
inline int Lucas(int n,int m){
	if(m == 0) return 1;
	return Lucas(n/p,m/p) * C(n % p , m % p) % p;
}