中国剩余定理

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。

中国的古人在很早的时候就发现了此题的解法：
三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知。
具体操作流程此处不过多赘述。

这个被叫做“物不知数”的问题本质上是解下面的同余方程组：

这一方程组有解的一个充分条件是 $a_{1}, a_{2} \dots \dots a_{n}$ 两两互质，并用构造法给出了这种情况下方程的通解。
回到刚才的原问题：找到 $x$ 使得

找到一个 $x$ 满足上述条件当然并不容易，但是可以找到一组 $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ 满足
那么直接令 $x = n_{1} + n_{2} + n_{3}$ 可以吗？
显然不行
那么令 $x = n_{1} + n_{2} + n_{3}$ 可以吗 ? 那恐怕末必。在什么情况下 $n_{1} \equiv 2 (mod 3)$ 可以推出 $n_{1} + n_{2} \equiv 2 (mod 3)$ 呢? 显然，那只有当 $n_{2}$ 是 $3$ 的倍数时成立。同理，要使 $n_{1} + n_{2} + n_{3}$ 也符合前式，需要 $n_{2}$ 和 $n_{3}$ 都是 $3$ 的倍数。
这样推下去， $x = n_{1} + n_{2} + n_{3}$ 符合方程组的条件是 $n_{1}$ 是 $35$ 的倍数， $n_{2}$ 是 $21$ 的倍数， $n_{3}$ 是 $15$ 的倍数。也就是说，现在我们只需要解三个同余方程 :

${\begin{cases} 35 m_{1} \equiv 2 (mod 3) \\ 21 m_{2} \equiv 3 (mod 5) \\ 15 m_{3} \equiv 2 (mod 7) \end{cases}$

注意到模数两两互质，则 $\gcd (35, 3) = \gcd (21, 5) = \gcd (15, 7) = 1$ ，所以我们可以用拓展欧几里得的方法解

${\begin{cases} 35 w_{1} \equiv 1 & (mod 3) \\ 21 w_{2} \equiv 1 & (mod 5) \\ 15 w_{3} \equiv 1 & (mod 7) \end{cases}$

解得 $w_{1} = 2, w_{2} = 1, w_{3} = 1$ ，然后可得 ${\begin{cases} m_{1} = 2 w_{1} = 4 \\ m_{2} = 3 w_{2} = 3 \\ m_{3} = 2 w_{3} = 2 \end{cases}$ ，于是

${\begin{cases} n_{1} = 35 m_{1} = 140 \\ n_{2} = 21 m_{2} = 63 \\ n_{3} = 15 m_{3} = 30 \end{cases}$

接下来不妨将上述过程公式化

我们设 $M = \prod_{i = 1}^{n} a_{i}$ ，并设 $r_{i} = \frac{M}{a_{i}}$ 。于是 $w_{i} = {inv (r_{i}) |}_{a_{i}}$ ， $m_{i} = b_{i} w_{i}$ ，而 $n_{i} = r_{i} m_{i}$ ，所有 $n_{i}$ 相加即得 $x$ 。
我们把以上这些综合成一个公式即是 :

${x \equiv \sum_{i = 1}^{n} b_{i} r_{i} {[r_{i}]}^{- 1} |}_{a_{i}} (mod M)$

代码实现
【模板】中国剩余定理(CRT)
一.

int a[N],b[N];
unsigned int M = 1 , t[N] , ans;
signed main(){
	int n = read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i] = read() , b[i] = read();
		M *= a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		t[i] = M/a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(unsigned int j=t[i];j<=0x7f7f7f7f7f7f;j+=t[i]){
			if(j % a[i] == 1){
				ans += j * b[i] % M;
				break;
			}
		}
	}
	printf("%lld\n",ans % M);
	return 0;
}

二.

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define int long long

using namespace std;

const int N = 55;

inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
	for(; isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
	return x*f;
}

int n,a[N],b[N],M=1;
inline void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b == 0){	
		x=1;y=0;
	}
	else{
		exgcd(b,a%b,x,y);
		int t = x;
		x = y; 
		y = t-(a/b)*y;
	}
}
inline int CRT(){
	int ans = 0,T,x,y;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		T = M / a[i];
		exgcd(T,a[i],x,y);
		ans = ((ans + T * x * b[i]) % M + M) % M;
	}
	return (ans + M) % M;
}
signed main(){
	n = read();
	for(int i=1;i<=n;++i){
		a[i] = read() , b[i] = read();
		M *= a[i];
	}
	printf("%lld\n",CRT());
	return 0;
}