集合与关系

相容关系

集合A上的关系R自反且对称 ，xRy称为x，y相容

相容关系简化矩阵和关系图
MR：仅留对角线以下元素。
GR：去掉所有自圈，并改双向边为无向边；称这样得到的无向图为R的简化关系图。
如果R有简化关系图，则R是自反的和对称的。
相容类
如果S为A的非空子集且当x,y$\in$S时皆有xRy，则称S为R的一个相容类。
极大相容类
S的元素在关系图中是极大多边形
①完全多边形：任意两个节点之间都有一条无向边；
①极大：再添加一个结点，不再是完全多边形。

等价关系

如果集合A上的二元关系R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。
若xRy，则称x和y等价，记为 x ${\approx }_R$ y 或 x $\approx$ y 。

矩阵与关系图简化
GR：去掉所有自圈，并改双向边为无向边；
MR：仅留对角线以下元素。
R有简化关系图，且其每个分支都是完全图。

划分

设A为任意集合且$\mathrm{\Pi }\in \mathcal{P}$(A) ,如果$\mathrm{\Pi }$满足：
i)   若S $\in \mathrm{\Pi }$，则S≠$\mathrm{\varnothing }$；
ii)  ∪$\mathrm{\Pi }$= A；
iii) 若S1, S2$\in \mathrm{\Pi }$ 且 S1∩S2≠$\mathrm{\varnothing }$，则S1 = S2。
就称$\mathrm{\Pi }$为A的划分。（切蛋糕）

等价类

设R为集合A上的等价关系。对每个x$\in$A，令
[x]R = {y｜y$\in$A 且 xRy}
并称[x]R为x关于R的等价类。当不强调R时，就把[x]R简记为[x]，并称为x的等价类。
R自反，所以对每个x$\in$A，皆有x$\in$[x]R
定理
设R为集合A上的等价关系，则
${\mathrm{\Pi }}_R$ = { [x]R｜x∈A}，为A的划分。（利用定义证明）
称集合{ [x]R｜x∈A}为A关于R的商集，并记为A/R。

设$\mathrm{\Pi }$为集合A的划分。若令$R_{\mathrm{\Pi }}$ = {〈x,y〉｜有S∈$\mathrm{\Pi }$使x, y∈S}
则RP为A上的等价关系且A/$R_{\mathrm{\Pi }}$ = $\mathrm{\Pi }$ 。

偏序关系

拟序
如果R是反自反的，反对称的和传递的，则称R为A上的拟序关系，简称拟序，并称〈A，R〉为拟序结构。

偏序（半序）
如果R是反对称的和传递的，则称R为A上的半序关系，简称半序（也称为偏序、部分序），并称〈A ，R〉为半序结构。

常常用符号“≤”（读作‘小于或等于’）表示半序， 用符号“<”表示 拟序。

覆盖（a，b相邻）
设R为集合A上的半序且a∈A。如果b∈A满足
     i)  b≠a且aRb；
     ii) 若x∈A使aRx且xRb，
则必有x=a或x=b。
就称b为a关于R的覆盖。在不特别强调关系时，也往往简称“b为a的覆盖” 。
一个元素可能有多个不同的覆盖

全序
如果集合A上的半序R满足：
若x, y∈A，则xRy或yRx。
就称R为A上的全序关系，简称全序，
并称〈A,R〉为链或全序结构。
也有人把全序称为线性序，并把链〈A，R〉称为线性有序集。

哈斯图
待补充没理解😥

上下界、上下确界、上下元

良序
设R为集合A上的半序。如果A的每个非空子集都有最小元，就称R为A上的良序关系，简称良序，并称<A, R>为良序结构。

补充定理
设 < A, < > 为全序结构，则 < A, < > 是良序结构的充要条件是： 不存在 A 中元素的无穷序列 a0, a1, a2 ,…使得对每个 i∈N 皆有 $a_{i+1}<a_i$ 。