关系及其表示

关系分类：

• n元关系
• 二元关系
• 空关系
• 全关系

几个定义

1. 二元关系 AxB 记为$xRy$
2. 全域关系$A\times B$, 恒等关系$I_A=\{<x,x>|x\in A\}$
3. 两个$R_1$, $R_2$关系相等要求：1. $R_1=R_2$。2. $R_1$,$R_2$来自的集合相等。
4. 定义域 dom R，值域 ran R

关系的表示

1. 列举法
2. 关系图
3. 关系矩阵 $a_{ij}=(x_i==y_j)$ 矩阵先行后列

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关系的性质

谓词逻辑

P -> Q 真值表

P Q	P ->Q
F F	T
F T	T
T F	F
T T	T

五种典型二元关系

• 自反，反自反
• 对称，反对称
• 传递

R	自反	反自反	对称	反对称	传递
$M_R$	对角线元素全1	对角线元素全0	对称矩阵	非对称矩阵	字面意思
$G_R$	每个节点有自圈	节点都无自圈	成对出现有向边	无成对有向边	处处有捷径
既对称又反对称则关系矩阵只包括对角线

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关系的运算

• 关系的交 ，和， 差，对称差。
• 补关系，逆关系
• 复合关系
• 关系幂

补充定理

若二元关系$R\in A^2$，则
i)   R是自反的       iff  $R^{-1}$是自反的
ii)  R是反自反的    iff  $R^{-1}$是反自反的
iii) R是对称的       iff  $R^{-1}$是对称的，且$R=R^{-1}$
iv) R是反对称的  iff  $R^{-1}$是反对称的
v)  R是传递的       iff  $R^{-1}$是传递的

关系的闭包

• 自反闭包 r(R)
• 对称闭包 s(R)
• 传递闭包 t(R)
  R为集合A上的二元关系，
       i)     r(R) = R∪$I_A$；
       ii)    s(R) = R∪$R^{-1}$；
       iii)   t(R) = $R^{+}$ 。$R^{+}=R^1\cup R^2\cup R^3....\cup R^n$
  设二元关系R1，R2 $\in A^2$，R1 $\in$ R2则
  i)     $r(R1)\in r(R2)$；
  ii)    $s(R1)\in s(R2)$；
  iii)   $s(R1)\in s(R2)$。
  设二元关系R $\in A^2$，
   i)      若R是自反的，则s(R)和t(R)也是自反的；
   ii)     若R是对称的，则r(R)和t(R)也是对称的；
   iii)    若R是传递的，则r(R)也是传递的；s(R)不一定传递
   v)      rs(R) = sr(R)；
   vi)     rt(R) = tr(R)；
   vii) st(R) $\in$ ts(R);