关系代数

概述

选择( $\sigma$ ), 投影( $\mathrm{\Pi }$ ), 笛卡尔积( $\times$ ), 连接( ${\bowtie }_{\theta }$ ), 集合运算, 更名( $\rho$ ),

• 是一种抽象的语言，是学习数据库语言的基础
• 关系代数运算三要素
  • 输入：一个或多个关系
  • 输出：一个新的关系
  • 运算符：四类
    • 集合运算符 - 从关系的执行角度来进行
    • 关系运算符 - 不仅涉及行而且涉及列
    • 算术比较符 - 辅助关系运算符进行操作
    • 逻辑运算符 - 辅助关系运算符进行操作

关系代数运算的分类

• 集合运算: 并、差、交、笛卡尔积
• 关系运算：更名、选择、投影、连接、除

基本运算

并, 交, 差

• 并相容性
  • 参与运算的两个关系及其相关属性之间有一定的对应性、可比性或意 义关联性
  • 定义：关系 R 与关系 S 存在相容性，当且仅当：
    • R 和 S 的属性数目必须相同；
    • 对于任意 i， R 的第 i 个属性的域必须和 S 的第 i 个属性的域相同

假设： R(A1, A2, … , An) , S(B1, B2, … ,Bm)
R和S满足并相容性： n = m 并且 Domain(Ai) = Domain(Bi)
Student(SID char(10), Sname char(8), Age char(3))
Proffessor(PID char(10), Pname char(8), Age char(3))

笛卡尔积(Cartesian-Product)

• 定义：由关系R与关系S的元组进行所有可能的拼接构成
• 数学描述： $R\times S=\{tq|t\in Randq\in S\}$，其中t、q是 元组
• 前提：假设R和S的属 性是不相交的，如果有相交的属性，必须通过更名(renaming)使其不相交。

更名(Rename)

• 定义：给关系或表达式重新命名
• 数学描述：
  • (1) ${\rho }_X(E)$，表示表达式E更名为X。
  • (2) ${\rho }_{X(A1,A2,\dots ,An)}(E)$，表示关系E更名为X，其中的n个属性依 次更名为A1 , A2 , …, An

选择(Select)

• 定义：给定一个关系R和一个选择的条件(con), 选择运算从关 系R中选择出满足给定条件con的元组。

• 数学描述：

$${\sigma }_{con}(R)=\{t|t\in Randcon(t)==1\}$$

• 设$R(A_1,A_2,\dots ,A_n)$, t是R的元组，则$t[A_i]$表示t的分量，con 由逻辑运算符连接比较表达式组成

• eg $S(Name,Age,Gender)$
  查询年龄不小于20的男学生

$${\sigma }_{Age\ge 20\wedge Gender{=}^{\prime }{M}^{\prime }}(S)$$

投影(Project)

• 定义：指从关系R中选出若干列构成新的关系(选择列去掉重复项)

• 数学描述：${\mathrm{\Pi }}_{A_1,A_2,\dots ,A_n}(R)=\{|t\in R\}$

因为关系是一个集合，需要删除重复的行(新投影的关系可能有重复行)

示例：$S(Name,Age,Gender)$
查询所有学生的姓名和年龄

$${\mathrm{\Pi }}_{Name,Age}(S)$$

投影结合选择操作

• 先选择再投影
• 先投影再选择

附加运算

连接: 多个表进行操作

自然连接(Natural Join)

将具有相同属性的表拼接

• 定义：由关系R和关系S的笛卡尔积中选取相同属性组上值相等的元组所构成
• 数学描述：假设$R\cap S=A_1,A_2,\dots ,A_n$
  $R\bowtie S={\mathrm{\Pi }}_{R\cup S}({\sigma }_{R.A_1=S.A_1\wedge R.A_2=S.A_2\wedge \dots \wedge R.A_n=S.A_n}(R\times S)$
  如果$R\cap S=\varphi$，则$R\bowtie S=R\times S$
• 注意：要在结果中去掉重复的属性列

θ连接(θ-Join/ Theta Join)

• 是自然连接的扩展
• 定义：从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组
• 数学描述：$R{\bowtie }_{\theta }S={\sigma }_{\theta }(R\times S)$ ，是将一个选择运算和一个笛 卡儿乘积运算合并为的单独一个运算

等值连接

• 定义：由关系R和关系S的笛卡尔积中选取R中属性A与S中属 性B上值相等的元组所构成
• 数学描述：$R{\bowtie }_{A=B}S={\theta }_{t[A]=q[B]}(R\times S)$ ， 即：θ连接中运算符为=时， θ连接就成为等值连接。

等值连接与自然连接

• 等值连接中不要求相等属性值的属性名相同，而自然连接要 求相等属性值的属性名必须相同，即两关系只有在同名属性 才能进行自然连接。
• 等值连接不将重复属性去掉，而自然连接去掉重复属性，也 可以说，自然连接是去掉重复列的等值连接。?

除(Division)

数学描述：R ÷ S = { t | t ∈ ${\mathrm{\Pi }}_{R-S}$(R) and ∀u ∈ S (tu∈ R)}

特点

• 行和列同时操作
• 常用于表达包含"对所有的(for all)" 的查询

外连接(Outer-Join)
表拼接拓展

• 全外连接(Full outer join) ⟗
  • 如果把舍弃的元组也保存在结果关系中，而在其他属性上 填空值(Null)，这种连接就叫做外连接（Outer join）

• 左外连接(Left outer join) ⟕
  • 如果只把左边关系R中要舍弃的元组保留就叫做左外连接 (Left Oouter Join或Left Join)
• 右外连接(Right outer join) ⟖
  • 如果只把右边关系S中要舍弃的元组保留就叫做右外连接 (Right outer join或Right join)