P9755 [CSP-S 2023] 种树

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对于某一颗树来说，其高度

$$f(x)={\displaystyle \sum _{i=1}^{r}max(b_x+c_x\ast i,1)}$$

考虑 $c_x>0$ 的情况：

$$f(x)={\displaystyle \sum _{i=1}^r{b}_x+c_x\ast i}$$

化简为：

$$f(x)={\displaystyle \sum _{i=1}^r{b}_x+\sum _{i=1}^r{c}_x\ast i}$$

观察到

$${\displaystyle \sum _{i=1}^r{c}_x\ast i}$$

为一个等差数列

原式最后为：

$$f(x)=（r-l+1）b_x+c_x\frac{(r+l)(r-l+1)}{2}$$

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接下来考虑 $c_x=0$ 的情况：

$$f(x)={\displaystyle \sum _{i=1}^{r}max(b_x,1)}$$

由于 $b_x>=1$

$$f(x)={\displaystyle \sum _{i=1}^r{b}_x}$$

即时间 $t_x=\lceil \frac{a_x}{b_x}\rceil$

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考虑当 $c_x<0$ 的情况：

设 $t_{max}$ 为使 $b_x+c_x\ast t_{max}>=1$ 的最大值

即： $t_{max}<=\frac{(1-b_x)}{c_x}$

接下来分三种情况：

当 $t_{max}<l$ 时： $f(x)=r-l+1$

当 $t_{max}>r$ 时： $f(x)=(r-l+1)b_x+c_x\frac{(r+l)(r-l+1)}{2}$

当 $l<=t_{max}<=r$ 时：
$f(x)=(t_{max}-l+1)b_x+c_x\frac{(t_{max}+l)(t_{max}-l+1)}{2}+(r-t_{max})$

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那么接下来就是重点了

二分时考虑将于这个点相关联的路径走一遍，也就是说从它的祖先节点到它是否都满足条件

我们可以里利用一遍dfs来求

接着考虑用栈来存这个路径

除此之外我们应当令 $t_x$ 为使这个节点最晚满足的时间

再排序一遍，根据时间来进行二分

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详细代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int128 __int128
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define dwn(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
const int N=1e5+10;

int n;
long long a[N];
int b[N],c[N];
int p[N],t[N];
int h[N],e[N*2],ne[N*2],idx=0;
int fa[N];
bool vis[N];
int top=0;
int stk[N];

bool cmp(int x,int y)
{
	return t[x]<t[y];
}

inline void _add_(int a,int b)
{
	e[++idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx;
	e[++idx]=a,ne[idx]=h[b],h[b]=idx;
}

inline void dfs(int u,int v)
{
	fa[u]=v;
	for(int i=h[u];i;i=ne[i])
	{
		if(e[i]!=v)dfs(e[i],u);
	}
}

inline int128 f(int128 l,int128 r,int x)
{
	if(c[x]>0)
	{
		return (r-l+1)*b[x]+(r+l)*(r-l+1)/2*c[x];
	}
	else if(c[x]==0)
	{
		return (r-l+1)*b[x];
	}
	else{
		int128 t_max=(1-b[x])/c[x];
		if(t_max<l)return (r-l+1);
		else if(t_max>r)return (r-l+1)*b[x]+(r+l)*(r-l+1)/2*c[x];
		else {
			return (t_max-l+1)*b[x]+(t_max+l)*(t_max-l+1)/2*c[x]+(r-t_max);
		}
	}
}

inline bool _cheak_(int r)
{
	rep(i,1,n)
	{
		if(f(1,r,i)<a[i])return false;
		int now_l=1,now_r=n;
		while(now_l<now_r)
		{
			int mid=(now_l+now_r+1)>>1;
			if(f(mid,r,i)>=a[i])now_l=mid;
			else now_r=mid-1;
		}
		p[i]=i;
		t[i]=now_l;
		vis[i]=false;
	}
	sort(p+1,p+n+1,cmp);
	int the_day=0;
	for(int now_idx=1;now_idx<=n;now_idx++)
	{
		int now=p[now_idx];
		top=0;
		while(!vis[now]){
			stk[++top]=now;
			vis[now]=true;
			now=fa[now];
		}
		while(top)
		{
			the_day++;
			if(t[stk[top]]<the_day)return false;
			top--;
		}
	}
	return true;
} 


int main()
{
	scanf("%d",&n);
	rep(i,1,n)
	{
		scanf("%lld%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
	}
	rep(i,1,n-1)
	{
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		_add_(u,v);
	}
	
	dfs(1,0);
	vis[0]=true;
	
	int l=n,r=1e9;
	while(l<r)
	{
		int mid=(l+r)>>1;
		if(_cheak_(mid))r=mid;
		else l=mid+1;
	}
	
	printf("%d",l);
	
	return 0;
}