生成函数

1.

$\quad $ 对于序列 {\(a_n\)} ， \(a_n=1^n\) ，其生成函数为 \(g(x)=\sum _{n=0}^{\infty}{a_n x^n}\) 。

$\quad $ 现在推导其封闭形式，先将其乘一个 \(x\) ，可以得到：

\[x \cdot g(x)=\sum _{n=0}^{\infty}{a_n x^{n+1}} \]

$\quad $ 两式相减可得：

\[(1-x)g(x)=1 \]

$\quad $ 从而得到原序列的生成函数的封闭形式 \(g(x)=\frac{1}{1-x}\) 。

$\quad $ 看到这你可能觉得我的推导完全是扯淡。很明显：当 \(x \ge 1\) 的时候等号不成立。实际上，该等号只在其收敛域 \((-1,1)\) 内成立，至于收敛域的求法嘛，自己探索吧（其实是我也不会🌚）。

(下面的目的与上一个相同，故下文只写序列及推导)

2.

$\quad $ \(a=\langle 0,1,1,1,1,\cdots \rangle\)

\[g(x)=\sum _{n=0}^{\infty}{a_n x^n} \]

$\quad $ 以下均将其展开

\[g(x)=x+x^2+x^3+\cdots \]

\[x \cdot g(x)=x^2+x^3+x^4+\cdots \]

\[(1-x)\cdot g(x)=x \]

\[g(x)=\frac{x}{1-x} \]

3.

$\quad $ $a=\langle 1,0,1,0,1,0,\cdots \rangle $

\[g(x)=x+x^3+x^5+x^7+\cdots \]

\[x^2 \cdot g(x)=x^3+x^5+x^7+\cdots \]

\[(1-x^2)\cdot g(x)=x \]

\[g(x)=\frac{x}{1-x^2} \]

4.

$\quad $ \(a=\langle 1,2,3,4,\cdots \rangle\)

\[g(x)=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots \]

\[x\cdot g(x)=x+2x^2+3x^3+\cdots \]

\[(1-x)g(x)=1+x+x^2+x^3+\cdots \]

\[(1-x)g(x)=\frac{1}{1-x} \]

\[g(x)=\frac{1}{(1-x)^2} \]

4.

$\quad $ \(a_n=C_{m}^{n}\)
$\quad $ 就是一个裸的二项式定理。

\[g(x)=\sum _{n=0}^{\infty}{c_{m}^{n} x^n} \]

\[g(x)=(1+x)^m \]

5.

$\quad $ \(a=C_{m+n}^{n}\)

\[g(x)=\sum _{n=0}^{\infty}{C_{m+n}^{n}x^n} \]

\[g(x)=\sum _{n=0}^{\infty}{(-1)^n C _{-m-1}^{n}(-1)^n (-x)^n} \]

$\quad $ 这里用了广义二项式定理， \(C_{m}^{n}\) 不再代表组合数，当然这里用 \(C_{m}^{n}\) 并不严谨🌚。《理解大意即可》

\[g(x)=\sum _{n=0}^{\infty}{C _{-m-1}^{n}(-x)^n} \]

\[g(x)=(1-x)^{-(m+1)} \]

\[g(x)=\frac{1}{(1-x)^{m+1}} \]

$\quad $ 只是推导是无法感受到生成函数的魅力的🌚，做两道题感受一下你就会知道生成函数的巨大威力。

P2000 拯救世界
$\quad $ 只是简单的组合问题，我们用普通型生成函数即可。首先列出各限制条件的生成函数。
\(g_1 (x)=1+x^6+x^{12}+\cdots\)
\(g_2(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9\)
\(g_3(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5\)
\(g_4(x)=1+x^4+x^8+x^{12}+\cdots\)
\(g_5(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7\)
\(g_6(x)=1+x^2+x^4+\cdots\)
\(g_7(x)=1+x\)
\(g_8(x)=1+x^8+x^{16}+\cdots\)
\(g_9(x)=1+x^{10}+x^{20}+\cdots\)
\(g_{10}(x)=1+x+x^2+x^3\)
$\quad $ 再分别求出其封闭形式：
\(g_1(x)=\frac{1}{1-x^6}\)
\(g_2(x)=\frac{1-x^{10}}{1-x}\)
\(g_3(x)=\frac{1-x^6}{1-x}\)
\(g_4(x)=\frac{1}{1-x^4}\)
\(g_5(x)=\frac{1-x^8}{1-x}\)
\(g_6(x)=\frac{1}{1-x^2}\)
\(g_7(x)=\frac{1-x^2}{1-x}\)
\(g_8(x)=\frac{1}{1-x^8}\)
\(g_9(x)=\frac{1}{1-x^{10}}\)
\(g_{10}(x)=\frac{1-x^4}{1-x}\)
$\quad $ 再算出这十个生成函数的积：

\[\frac{1}{(1-x)^5} \]

$\quad $ 然后用一个广义二项式定理展开这个级数，这里放一个结论（其实就是上面证过的）🌚：

\[\sum _{n=0}^{\infty}{C _{m+n}^{n}x^n}=\frac{1}{(1-x)^{m+1}} \]

$\quad $ 然后放心展开就好了：

\[ans=\sum _{n=0}^{\infty}{C _{n+4}^{n}x^n} \]

$\quad $ 我们要求的就是这个级数第 \(n\) 项的系数，用 \(Python\) 水一下高精度就好了。

点击查看代码

import sys
sys.set_int_max_str_digits(500000)
n=int(input())
print(int(n+1)*int(n+2)*int(n+3)*int(n+4)//24)

$\quad $ 《其实还有一道题来着，先鸽了》。