从行列式到矩阵树定理（含高斯消元）

没写完。不知道啥时候写完。

高斯消元

此为前置知识。

高斯消元为工具，而不是难点所在。就像网络流难点不在跑网络流一样。此处只讲算法的实现，而关于如何根据题目列出方程，以后有机会会单独写博客。

一元一次方程，只要一次项系数不为 \(0\)，就一定有解。

二元一次方程组，\(2\) 个方程，可能会无解，可能会有无穷多解，也可能只有唯一解。

\(n\) 元一次方程组， \(n\) 个方程，也只有 \(3\) 种情况：无解，无穷多解和唯一解。

如何求解？感性理解：\(2\) 个方程之间可以通过一个方程减去另一个方程的几倍，从而消除一些未知数。假设第 \(i\) 个方程求得第 \(i\) 个未知数，那么对于这个方程后面的方程，都去掉第 \(i\) 个未知数。如何去掉？假设第 \(i\) 个方程的第 \(i\) 个未知数的系数为 \(a_{i,i}\)，第 \(j\) 个方程的第 \(i\) 个未知数的系数为 \(a_{j,i}\)，其中 \(i<j\)。第 \(j\) 个方程的第 \(k\) 项减去 \(a_{i,k}\times \frac{a_{j,i}}{a_{i,i}}\)。当 \(k\) 为 \(i\) 时，\(a_{j,i}\) 要减去 \(a_{j,i}\)，变成 \(0\) 了，就消掉了。至于其它项消不掉也没关系，以后总会消掉的。而 \(i\) 之前的项一定会被之前的其它方程消掉。

消完之后，会形成一个上直角三角型有系数，剩下位置系数为 \(0\) 的方程组。最后一个方程就是 \(x=\) 某个值的形式。然后倒推回来，每个方程就可以算出一个未知数的值。

可能会存在无解和无穷多解的情况，属于特殊情况，在此不作讨论，比较复杂。

行列式

先定义 \(\pi(p)\) 表示一个排列 \(p\) 的逆序对数量（\(p_i>p_{j}\) 且 \(i<j\) 的 \((i,j)\) 二元组数量）。

设 \(\sum_{p}\) 表示枚举全排列。

行列式可以简单地看成，用一个方阵描述一个数字。记号为 \(\det\)。相当于一个函数，参数为方阵。

设给定 \(n\) 阶方阵 \(A\)（下标从 \(1\) 开始），\(p\) 为长度为 \(n\) 的排列，则：

\[\det A =\sum_{p} \prod_{i=1}^{n}A_{i,p_i}\times(-1)^{\pi(p)} \]

• 定理 \(1\)：\(A\) 的行列式跟 \(A^T\) 的行列式相等

  证明：\(A^T\) 表示 \(A\) 的转置，可以理解为 \(A\) 的行列互换，但相对顺序不变。类似于矩阵斜着翻了个面？即：\(A_{i,j}=A^T_{j,i}\)。

  设 \(b_i\) 表示 \(p\) 中 \(i\) 出现的位置。即 \(p_{b_i}=i\)。考虑逆序对的图像意义，即二分图，上下各 \(n\) 个点，上面的第 \(i\) 个点连向下面的第 \(p_i\) 个点，这个图的线段交点个数就是 \(p\) 的逆序对个数（假设都是直着连线的，上面第 \(i\) 个点和下面第 \(i\) 个点对齐）。\(b\) 相当于 \(p\) 的逆操作，即刚才描述的图也可以说成，下面的第 \(i\) 个点连向上面的第 \(b_i\) 个点。也就是说，每一个 \(p\) 都唯一对应一个 \(b\)，且它们的逆序对数量相等。

  \[\det A^T =\sum_{p} \prod_{i=1}^{n}A^T_{i,p_i}\times(-1)^{\pi(p)} \\ =\sum_{p} \prod_{i=1}^{n}A_{p_i,i}\times(-1)^{\pi(p)} \\ =\sum_{p} \prod_{i=1}^{n}A_{p_{b_i},b_i}\times(-1)^{\pi(p)} \\ =\sum_{b} \prod_{i=1}^{n}A_{i,b_i}\times(-1)^{\pi(b)} \]

  上文已经证明了 \(b\) 的唯一性和 \(\pi(b)=\pi(p)\)。所以 \(\det A=\det A^T\)。

• 定理 \(2\)：把某行或某列的所有元素同时乘一个数，等价于这个行列式的值乘上这个数

  证明：每一次 \(\prod\) 都会用到每一行的一个数和每一列的一个数，所以可以把同时乘的这个数提出来。

• 定理 \(3\)：交换一个行列式的两行或两列，行列式的值取反。

  证明：只需要证明交换两列，行列式的值取反就行。因为通过定理 \(1\) 即可把行变成列。设 \(p'\) 为 \(p\) 交换 \(p_i\) 和 \(p_j\) 得到的，首先对于每一个 \(p\)，都唯一对应一个 \(p'\)。跟上文的 \(p\) 和 \(b\) 的关系类似，只需要证明 \(\pi(p')\) 和 \(\pi(p)\) 的奇偶性相反即可。

  假设 \(i<j\)。

  对于 \(<i\) 的位置，交换后不影响。

  对于 \(>j\) 的位置，交换后不影响。

  对于 \(>i\) 且 \(<j\) 的位置：

  • 比 \(\min(p_i,p_j)\) 小的数，不影响。
  • 比 \(\max(p_i,p_j)\) 大的数，不影响。
  • 比 \(\min(p_i,p_j)\) 大，比 \(\max(p_i,p_j)\) 小的数，交换 \(p_i\) 和 \(p_j\) 之后 \(\pi\) 的变化量为偶数，对奇偶性不影响。（\(p_i\) 和 \(p_j\) 都会同时对这个数产生或失去逆序对）

  交换 \(p_i\) 和 \(p_j\) 后，若原先 \((i,j)\) 不为逆序对，则此时逆序对数增加 \(1\)，否则逆序对数减少 \(1\)。

  所以 \(\pi(p')\) 跟 \(\pi(p)\) 的奇偶性相反。

  也就是行列式的值取反了。

• 定理 \(4\)：一行的所有数对位加上另一行所有数的几倍，行列式的值不变。就是高斯消元时最为关键的一步不会改变行列式的值。

存个档。