学习原根 by OI-wiki

根据 OI-wiki 的讲解，加以自己的理解和简化。偏重于算法竞赛而不是数学竞赛。

前置知识：

费马小定理：$a^{p-1} \equiv 1(\mod p)$，$p$ 为质数。

欧拉定理：$a^{\varphi(m)}\equiv 1(\mod m)$，m 为任意正整数。

拉格朗日定理：$p$ 为质数，$n$ 整系数次多项式在模 $p$ 意义下至多有 $n$ 个不同解。（即多项式 $f(x)$，$f(x)\equiv 0(\mod p)$ 的 $x$ 的取值至多有 $n$ 个。）

定义一个东西，称作阶。

阶：满足 $a^n \equiv 1(\mod m)$ 的最小正整数 $n$，即为 $a$ 模 $m$ 的阶，记作 $\delta_m(a)$。由欧拉定理可知，任意 $m$ 都存在 $\varphi(m)$ 使得满足这个方程，所以 $n$ 一定存在且 $n \leq \varphi(m)$。

• 性质 $1$：$a^1,a^2,...,a^{\delta_m(a)}$ 模 $m$ 两两不同余。
  证明：

  若 $a^i \equiv a^j(\mod m),i < j \leq \delta_m{a}$，则 $a^{j-i}\equiv 1(\mod m)$（等式两边同时除以 $a^j$）。

  显然 $j-i<\delta_m(a)$，根据阶的定义，与阶的最小性矛盾。

• 性质 $2$：若 $a^n \equiv 1(\mod m)$，则 $\delta_m(a) | n$。
  证明：
  考虑把 $n$ 分解为 $\delta_m(a)$ 的倍数+$n$ 模 $\delta_m(a)$ 得到的余数的形式，然后反证。

还有一堆性质，但我要学的是原根，故跳过。

原根：严谨定义：设 $m\in \N^*,a\in \Z$。若 $\gcd(a,m)=1$，且 $\delta_m(a)=\varphi(m)$，则称 $a$ 为模 $m$ 意义下的原根。一般的用途，对于质数 $p$，其原根为 $g$（可以证明一定存在），$g^i \mod p,0 \leq i \leq p$ 的值互不相同。这一点在 NTT 里是关键所在，如果以后有机会我会写多项式相关的博客。

如何求原根？
一个结论：任意质数都有原根。
第二个结论：若 $m$ 有原根，其最小原根不多于 $m^{0.25}$ 级别。
可以考虑暴力枚举每一个数直到找到原根。判别式为原根的定义式。

判断数 $x$ 是否为原根，先判断 $x^{\varphi(m)}\equiv 1(\mod m)$ 是否成立，如果成立，然后根据阶的性质二，枚举 $\varphi(m)$ 的因数是否成立，若因数全为否，则 $x$ 为原根。

更简洁地，枚举 $\varphi(m)$ 除以其中一个质因数，一共质因数个数多个数，这些数是否成立等价于所有因数是否成立。

$\varphi$ 在 $m$ 取值多但数值小时可以用线性筛，如果 $m$ 只有一个，但是很大，考虑用根号算法算出 $\varphi$ 的值。

以后贴一份求阶的线性筛代码。