园龄：3年7个月粉丝：26 关注：33

简单数学笔记

数学证明：proof
命题：proposition
逻辑推理：logical deduction $\to$ 推理规则：inference rule
公理：axiom
良序原理：Well Ordering Principle
归纳法：induction
定义：命题的数学证明是指基于一系列公理，经过一连串逻辑推理，最后得出这个命题。
定义：命题是一个真或假的语句（表述）。
质数：prime。指大于 $1$ 且不能被任何其它大于 $1$ 的整数整除的整数。
存在情况满足： $\exists$
对所有情况满足： $\forall$
自然数集： $\N$
整数集： $\Z$
谓词：predicate。相当于取值只有真或假的函数。但其实谓词不是函数。
假设：assumption。
定理：theorem。重要的真命题。
引理：lemma。预备性命题，为后面的命题证明做准备。
推论：corollary。从定理出发，只需几步逻辑推导就能得出的命题。
公理化方法：axiomatic method。

逻辑推理：

基本推理规则：假言推理（modus ponens）。即：证明了 $P$ 且证明了 $P \ implies \ Q$ ，就证明了 $Q$ 。 $implies$ 可理解为“能够推导出”，即后文的“蕴涵”。
推理规则的表示方法：

\frac{P, P i m p l i e s Q}{Q}

$\frac{P,P\ implies\ Q}{Q}$

横线上面的语句被称为前件（antecedent），下面的语句成为结论（conclusion）或后件（consequent）。一旦前件被证明，也就证明了后件。
推理规则必须有效（sound），从真公理出发，应用有效的推理规则，得到的结论也都是真的。
更多自然有效的推理规则：

\frac{P i m p l i e s Q ， Q i m p l i e s R}{P i m p l i e s R}

$\frac{P\ implies\ Q，Q\ implies\ R}{P\ implies\ R}$

\frac{n o t (P) i m p l i e s n o t (Q)}{Q i m p l i e s P}

$\frac{not(P)\ implies\ not(Q)}{Q\ implies P}$

从本质上说，证明是基于公理及已被证明的语句，推导出命题结论的任意逻辑推理序列。
但是很多证明遵循数量有限的标准模板。

证明方法：

证明蕴涵：

形如“如果 $P$ ，则 $Q$ ”的命题称为蕴涵（implication）。
证明蕴涵有一些标准方法。
要证明 $P\ implies\ Q$ 。
证明蕴涵方法 #1：

假设 $P$ 。
从逻辑上证明 $Q$ 。

证明蕴涵方法 #2：证明逆反命题
一个蕴涵逻辑等价于其逆反命题（contrapositive）
即： $P\ implies\ Q \Leftrightarrow not(Q)\ implies\ not(P)$ 。
所以：

假设 $not(Q)$ 。
从逻辑上证明 $not(P)$ 。

证明当且仅当：

两个语句逻辑等价，即一个语句成立当且仅当（if and only if）另一个语句成立。当且仅当简写为 $iff$ ，数学表达式中写作 $IFF$ 。
要证明 $P\ IFF\ Q$
证明 $iff$ 方法 #1：

P I F F Q \Leftrightarrow P i m p l i e s Q & Q i m p l i e s P

$P\ IFF\ Q\Leftrightarrow P\ implies\ Q\&Q\ implies\ P$

所以可以通过证明两个蕴涵来证明 $iff$ 。

证明 $P$ 蕴涵 $Q$ 。
证明 $Q$ 蕴涵 $P$ 。

证明 $iff$ 方法 #2：构建 $iff$ 链
构建一条 $iff$ 蕴涵链。

证明 $P\ implies\ p_1$
证明 $p_1\ implies\ p_2$
...
直到证明 $p_n\ implies\ Q$

案例证明法：

将复杂的证明分解成案例，然后分别证明每一个案例。（分类讨论）
需要囊括所有情形，一般有两种，形如 $P$ 和非 $P$ 。

反证法：

反证法（proof by contradiction），又称间接证明法（indirect）。
假如命题是假的，那么相应的虚假事实为真。逻辑为，既然虚假事实本身不可能是真的，所以命题一定为真。
证明 $P$ 为真：

假设 $P$ 是假的。
推导得出某些已知的假事实（逻辑矛盾）
得出 $P$ 一定是真的。

良序原理（The Well Ordering Principle）:非负整数集中的每个非空子集都有一个最小元素。
良序原理是离散数学（discrete mathematics）中最为重要的证据规则之一。
对任一非负整数 $n$ ，使用良序性（Well Ordering）证明 $P(n)$ 成立，通常有一套标准的方法。
证明“对所有 $n\in \N,P(n)$ 为真”：

定义 $C$ 是 $P$ 为真的反例集合，即 $C=\{n\in \N|not(P(n))$ 为真 $\}$ 。
假设 $C$ 是非空集进行反证。
根据良序原理，一定存在一个最小元素 $n\in C$ 。
得出矛盾。
得出结论， $C$ 一定是空集，即不存在反例。

一个典型的例子：
证明“每一个大于 $1$ 的整数都能分解成某种质因数的成绩形式”（不需要证明其唯一性）。
令 $C$ 表示所有大于 $1$ 但不能被分解成质因数乘积的整数集合。假设 $C$ 不为空。
因为 $C$ 不为空，由良序性可知，存在一个最小元素 $n\in C$ 。因为质数是自己和 $1$ 相乘，而质数的乘积不属于 $C$ ，所以 $n$ 一定不是质数。
因此， $n$ 一定是两个整数 $a,b$ 的乘积，且 $1<a,b<n$ 。因为 $a,b$ 比 $C$ 中最小的元素 $n$ 都要小，所以 $a,b\notin C$ 。所以 $a$ 和 $b$ 可以写成质数的乘积形式。所以 $n=ab$ 可以写成质数的乘积形式，这与 $n\in C$ 矛盾。
所以原假设 $C$ 不为空不成立。

有良序性的集合被称为良序集合，此集合的任意非空子集都有一个最小元素。
反例之一是非负有理数集合，其全集有 $0$ 这个最小元素，但是存在没有最小元素的子集，比如正有理数。

命题变量（propositional variable）：值只有 T（真）和 F（假）的变量。又被称为布尔变量（Boolean variable），发明者为乔治 · 布尔（George Boole）。

逻辑符号：
为了区分符号和命题，符号不用 Markdown。
NOT、AND、OR、XOR（exclusive-or）：用法不必多说。

IFF（当且仅当）： $P$ IFF $Q$ 取 T 时 $P$ 和 $Q$ 都为 T 或都为 F。

IMPLIES（蕴涵，从这里开始用大写）：
$P$ 为 T， $Q$ 为 T， $P$ IMPLIES $Q$ 为 T。如果 $P$ ，则 $Q$ 。 $P$ 已经是真的了， $Q$ 也已经是真的了，所以这个蕴涵是真。
$P$ 为 T， $Q$ 为 F， $P$ IMPLIES $Q$ 为 F。因为 $P$ 是真，所以 $Q$ 为真时蕴涵为真。 $Q$ 为假，蕴涵不成立，为假。
$P$ 为 F， $Q$ 为 T， $P$ IMPLIES $Q$ 为 T。 $P$ 都是假的了， $Q$ 无论怎样都不会有影响，所以蕴涵为真。
$P$ 为 F， $Q$ 为 F， $P$ IMPLIES $Q$ 为 T。同上。
一个例子：“如果猪会飞，那么你的账户就不会被盗”。然而猪不会飞，所以你不知道你的账户会不会被盗，被盗了这个蕴涵依然成立，不被盗这个蕴涵依然成立。
重要的是，数学蕴涵不考虑因果联系，而因果蕴涵（causal implication）要考虑因果联系。但是数学蕴涵用途更广泛。
（个人看法： $P$ IMPLIES $Q \Leftrightarrow$ NOT $(P)$ OR $Q$ ）
现在有一个机器，当其模式为 $C_i$ 时，它的动作为 $A_i$ ，这个机器一共有 $n$ 种模式，则这个机器正常运行的判断语句就是 $[C_1$ IMPLIES $A_1]$ AND ... AND $[C_n$ IMPLIES $A_n]$ 。

要判断两个逻辑语句是否等价，只需要将这两个语句列出来，枚举命题的所有情况，对比这两个逻辑语句的结果是否相同。
给出一些逻辑语句的关系：
$P$ IMPLIES $Q$ 等价于 NOT $(P)$ IMPLIES NOT $(Q)$ 。
$P$ IMPLIES $Q$ 的逆命题（converse）为 $Q$ IMPLIES $P$ ，它们不等价。但是将它们 AND 起来，等价于一个 $iff$ 语句：
$[P$ IMPLIES $Q$ ] AND $[Q$ IMPLIES $P]$ 等价于 $P$ IFF $Q$ 。

永真式（valid formula，也称有效公式）：指无论变量如何取值，总是为真的公式。比如： $P$ OR NOT $(P)$ 。
要证明如果 $P$ IMPLIES $Q$ ，且 $Q$ IMPLIES $R$ ，则 $P$ IMPLIES $R$ ，
相当于证明 $[(P$ IMPLIES $Q)$ AND $(Q$ IMPLIES $R)]$ IMPLIES $(P$ IMPLIES $R)$ 。
两个式子永真，意味着两个式子等价。事实上，一个式子永真，当且仅当其等价于 T。
可满足式（satisfiable formula）：指有时候为真的公式，即存在某种变量取值使公式为真。反例就是， $P$ AND NOT $(P)$ 不是可满足式。

永真与可满足的关系：
$P$ 是可满足的，当且仅当它的否命题 NOT $(P)$ 不是永真式。

命题代数：

定理：每个命题公式都等价于一个析取范式和一个合取范式。
析取范式（disjunctive normal form，DNF）。
合取范式（conjunctive normal form，CNF）。
所有高级逻辑词（比如 XOR、IFF、IMPLIES）都可以化为 NOT、AND、OR 的形式。而如果把 F 看作 $0$ ，则 AND 等价于 $\times$ ，OR 等价于 $+$ ，T 等价于 NOT $(0)$ 。
析取范式即把原命题公式分解为先 AND 再 OR 的结构，且分解出的命题与原命题等价。比如 $A$ AND $(B$ OR $C)$ ，其析取范式为 $(A$ AND $B)$ OR $(A$ AND $C)$ 。
合取范式则是把原命题公式分解为先 OR 再 AND 的结构。比如 $A$ AND $(B$ OR $C)$ ，其合取范式为((!A)|B|C) & (A|(!B)|(!C)) & (A|(!B)|C) & (A|B|(!C)) & (A|B|C)。（式子太长就用代码写了）
范式的好处是，能够只通过对比范式（经过某种方法排序）就能够得出两个式子是否等价。而如果真要枚举命题取值，复杂度是指数级的。
如何将一个普通式子转化为范式呢？

首先，任何其它符号都能转换成一些 NOT、AND 和 OR。这一步很简单。
再给出一些公理：
NOT 公理：
双重否定律（double negation）：NOT $($ NOT $(A))\Leftrightarrow A$
AND 公理：
AND 很像乘法。所以显然的：
AND 交换律（commutatuvuty）: $A$ AND $B\Leftrightarrow B$ AND $A$
AND 结合律（associativity）： $(A$ AND $B)$ AND $C\Leftrightarrow A$ AND $(B$ AND $C)$
AND 同一律（identity）：T AND $A\Leftrightarrow A$
AND 零律（zero）：F AND $A\Leftrightarrow$ F
AND 对 OR 的分配律（distributivity）： $A$ AND $(B$ OR $C)\Leftrightarrow(A$ AND $B)$ OR $(A$ AND $C)$
然后是数学算术规则里面没有的：
OR 对 AND 的分配律： $A$ OR $(B$ AND $C)\Leftrightarrow (A$ OR $B)$ AND $(A$ OR $C)$
AND 幂等律（idempotence）： $A$ AND $A\Leftrightarrow A$
AND 矛盾律（contradiction）： $A$ AND NOT $(A)\Leftrightarrow$ F
OR 公理：
跟算术相同的交换律结合律。
上面写过的 OR 和 AND 的两个分配律。
OR 永真律（validity）： $A$ OR NOT $(A)\Leftrightarrow$ T

三个运算符全都用到的德摩根律（Demorgan's Laws）：
AND 德摩根律：NOT $(A$ AND $B)\Leftrightarrow$ NOT $(A)$ OR NOT $(B)$
OR 德摩根律：NOT $(A$ OR $B)\Leftrightarrow$ NOT $(A)$ AND NOT $(B)$