爬山算法
爬山算法
一种启发式算法。可以求得局部最优值（极大值）。非常适用于单峰函数。（虽然说单峰函数可以直接三分，但也说不准，爬山算法也可以用于多元函数）
基本原理
对于某一n元函数f，我们先取一点X，对这个点进行偏移D。(X、D均为n维点)
如果f(X+D)比f(X)更优（大或者小，随目标定），那么将X转移到X+D。
往复很多次转移，就可以得到一个局部最优值。
直观理解就是你看到高处就向上爬，那你肯定是一直向上爬的，最终到达一个峰值。
在很多情况下我们会设置一个递降温度函数，让偏移D不断趋于稳定。
例1 球形空间产生器
n+1个点， 求圆心。
此题可以采用爬山算法。
取圆心为O，对当前圆心与所有点的距离求平均值，对于每个点，如果距离圆心小于平均值，则圆心相对要远离这个点一些，大于平均值反之。
从物理上理解来说就是相互排斥，距离太近了排斥一下，距离太远了拉近一点。
代码如下
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
double a[20][20];
double ans[20], dis[20], cans[20];
void check()
{
double sum = 0;
for (int i = 1; i <= n + 1; ++i)
{
dis[i] = 0;
cans[i] = 0;
for (int j = 1; j <= n; ++j)
dis[i] += (a[i][j] - ans[j]) * (a[i][j] - ans[j]);
dis[i] = sqrt(dis[i]);
sum += dis[i];
}
sum /= (n + 1);
for (int i = 1; i <= n + 1; ++i)
for (int j = 1; j <= n; ++j)
cans[j] += (dis[i] - sum) * (a[i][j] - ans[j]) / sum;
}
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n + 1; ++i)
for (int j = 1; j <= n; ++j)
{
cin >> a[i][j];
ans[j] += a[i][j];
}
for (int i = 1; i <= n; ++i)
ans[i] = ans[i] / (n + 1);
for (double T = 3; T >= 1e-6; T *= 0.99995)
{
check();
for (int i = 1; i <= n; ++i)
ans[i] += cans[i] * T;
}
for (int i = 1; i <= n; ++i)
printf("%.3f ", ans[i]);
return 0;
}
此题实际上是经典的高斯消元。
例2 平衡点
n个物体在桌面上通过小洞悬挂，并且绳子连接在一个结点上，问自然下垂时结点所在位置。
该题实际上是求带权费马点。
设置温度，每次模拟合力，将点不断朝合力方向移动。
代码如下。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int x[1010], y[1010], w[1010];
double ansx, ansy;
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
cin >> x[i] >> y[i] >> w[i];
ansx = 0, ansy = 0;
for (double T = 10; T >= 1e-6; T *= 0.9995)
{
double fx = 0, fy = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
double dis = sqrt((x[i] - ansx) * (x[i] - ansx) + (y[i] - ansy) * (y[i] - ansy));
if (dis < 1e-8)
continue;
fx += (x[i] - ansx) * w[i] / dis;
fy += (y[i] - ansy) * w[i] / dis;
}
ansx += fx * T, ansy += fy * T;
}
printf("%.3f %.3f", ansx, ansy);
return 0;
}
费马点
费马点就是一个平面上n个点，求平面上一个点O，使得O与n个点距离之和最小，\(min\sum{OI}\)
带权费马点就是加权了，\(min\sum k_iOI\)
正常数学角度来说，是通过几何关系得到费马点。
但对于计算机算法来说，结合物理原理与爬山算法，可以得到。
爬山缺点
多峰函数求最值的时候会陷入局部最优。
因此用随机化的模拟退火，可以有很大概率跳出局部解。。。
下篇再做吧。
