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摘要： ## 图论 求证：$G = (V, E)$ 不含 $K_4$，则 $G$ 中 $K_3$ 的数目不超过 $\left(e/3\right)^\frac{3}{2}$。 证明： 记 $T$ 为所有 $K_3$ 的集合，其大小为 $t$ $N_v$ 为点 $v$ 所有邻居的集合 $P_v$ 为只保留 $ 阅读全文

摘要： 对于任意质数 $p$，对于任意非负整数 $k < p-1$，有 $p|\sum_{i=0}^{p-1}i^k$ 证明： $k=0$ 的情况是容易验证的。 取 $p$ 的原根 $g$，由剩余系的性质知： 在 $\mod p$ 意义下，有 $$ \{0, g, 2g,\cdots, (p-1)g\} = 阅读全文

摘要： ——whk时突然发现高维前缀和就是暴力前缀和，震惊0922 首先考虑二维空间里的前缀和，很明显就是横着对每一行做一遍，再竖着对每一列做一遍。 三维空间也很简单，横着做一遍纵着做一遍竖着做一遍。 推广到 $n$ 维，枚举每一维依次做一遍就好，只不过状压了，代码： ``` for (int i = 0; 阅读全文

摘要： ## 二项式反演 本质上是某种容斥。 结论为： $$ f_i = \sum_{j=0}^i(-1)^j\binom{i}{j}g_j\Leftrightarrow g_i = \sum_{j=0}^i(-1)^j\binom{i}{j}f_j $$ 更常用的形式是 $$ f_i = \sum_{j= 阅读全文

摘要： 考虑对于每个合法的序列 $b$ 对应出唯一序列的 $a$： $a_i$ 为所有对应区间 $[l_j, r_j]$ 包含 $i$ 的 $b_j$ 的最大值，若没有则为 $1$。这样填完之后所有 $a_i$ 均为其最小可能值，若所有 $b_i$ 的值都正确，则序列 $b$ 合法。容易发现这样的映射是单射 阅读全文

摘要： Prove: If $a > 0$，then $\forall x\in \mathbb R, a(\mathrm e^x+a)-x> 2\ln a+\dfrac32$ Proof: Let $f(x) = a(\mathrm e^x+a)-x$, then $f'(x) = a\mathrm e^ 阅读全文

摘要： 兔队线段树题。 记 $\{a_i\}$ 的前缀和为 $\{S_i\}$，记距离 $i$ 位置最近的颜色相同位置为 $pre_i$，那当钦定某个点 $i$ 为右端点时，左端点最小可以为 $\max\limits_{1\le j\le i}\{pre_j\} + 1$。 考虑对于线段树上每个结点 $p$ 阅读全文

摘要： ### [洛谷 P5298 [PKUWC2018] Minimax](https://www.luogu.com.cn/problem/P5298) 线段树合并好题。 首先 $$\sum_{i=1}^{m}i\cdot V_i\cdot D_i^2$$ 感觉妹啥好性质，于是对于每个结点维护其每个值的 阅读全文

摘要： Min-Max 反演 + 树上高斯消元 + FWT 阅读全文

摘要： 题目链接 题意 给出 $n$ 个正整数 $a_1,a_2\cdots,a_n$，求 $\operatorname{lcm}(F_{a_1}, F_{a_2},\cdots, F_{a_n})$。 其中 ${F_i}$ 为斐波那契数列。 $2\le n\le 50000, 1\le a_i\le 10 阅读全文