数学分析概论学习笔记

第一章 基本概念

数的概念

自然数：\(1, 2, 3\) 等，用以表示事物的次序或集合中事物的个数.

整数：\(0, \pm1, \pm2\) 等，自然数是正整数.

有理数：\(0\) 和 \(\pm \dfrac{a}{b}\)，其中 \(a, b\) 是自然数.\(\;\) 当 \(b = 1\) 时，\(\pm\dfrac{a}{b}\) 是整数.

无理数：有理数之外的实数，例如

\[\begin{split} \sqrt{2} &= 1.414\;213\;5\cdots\\ e &= 2.718\;281\;828\cdots\\ \pi &= 3.141\;592\;653\;5\cdots\;. \end{split} \]

（需要证明它们不是有理数.）

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数的连续性

将所有数划分为 \(A，B\) 两组，当 \(A\) 中的每一个数都小于 \(B\) 中的每一个数时，称这样的划分 \((A, B)\) 为戴德金（Dedekind）分割，并且称 \(A\) 为下类，\(B\) 为上类.

在分割 \((A,B)\) 中我们严格规定，原集合中任意一个数属于且仅属于其中一类.

显然，对于任意数 \(s\)，可以轻易构造以其为边界的分割.

定理 \(\mathbf1\)（戴德金定理）\(\quad\) 实数的分割确定某数为下类和上类的边界.

也就是说，当给定分割 \((A, B)\) 时，存在一个数 \(s\)，\(s\) 或是 \(A\) 中的最大数或是 \(B\) 中的最小数.\(\;\) 这就是实数的连续性.

分割：有大小顺序就可构建分割，理论上可以有如下三种类型的分割.

\((1^\circ)\) 在下类中有最大数，同时在上类中有最小数.\(\;\) 简略来说，在下类和上类之间有跳跃（leap）.

\((2^\circ)\) 在下类中没有最大数，在上类中也没有最小数，即在下类和上类之间有跳跃.

\((3^\circ)\) 在下类或上类中有终端（最大或最小），而另一个中没有终端，即下类和上类连续.

戴德金定理是说实数的分割只能是 \((3^\circ)\) 的情况.

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数的集合 \(\cdot\) 上确界 \(\cdot\) 下确界

符合某一条件的数的全体称为集合.

当属于集合 \(S\) 的所有数全都不大于（或小于）数 \(M\) 时，称 \(S\) 在上方（或下方）有界，并称 \(M\) 为该集合的一个上界（或下界）.

集合 \(S\) 的上确界（即最小上界）是符合如下条件 \((1^\circ),(2^\circ)\) 的数：

\((1^\circ)\) 对属于 \(S\) 的所有数 \(x\)，有 \(x \le a\)；（即 \(a\) 是 \(S\) 的上界.）

\((2^\circ)\) 假设 \(a' < a\)，存在属于 \(S\) 的某个数 \(x\)，使得 \(a' < x\).\(\;\) （即不存在比 \(a\) 更小的上界.）

下确界的定义是类似的.

定理 \(\mathbf2\)（魏尔斯特拉斯定理）\(\quad\) 若数集 \(S\) 在上方（或下方有界），则 \(S\) 的上确界（或下确界）存在.

[证] 假定 \(S\) 在下方有界，证明下确界存在.

设所有能作为 \(S\) 的下界的数的全体为 \(A\)，其他数的全体为 \(B\)，形成一个分割.\(\;\) 设由该分割确定的数为 \(s\). 那么\(s\) 或是 \(A\) 中的最大数，或是 \(B\) 中的最小数.

若 \(s\) 为 \(B\) 中的最小数，则 \(s\) 不是 \(S\) 的下界，故存在 \(x \in S\) 满足 \(x < s\).\(\;\) 在 \((x,s)\) 中任取一实数 \(b\)，由于 \(x < b\)，故 \(b\) 不能是 \(S\) 的下界，即 \(b \in B\)，这与 \(s\) 是 \(B\) 中的最小数矛盾.\(\;\) 故 \(s\) 不可能是 \(B\) 中的最小数，从而 \(s\) 为 \(A\) 中的最大数，故 \(s\) 是 \(S\) 的最大下界，即下确界.

\(\Box\)

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数列的极限

\(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots\) 这样无穷个按一定顺序排列起来的一列数称为数列.\(\;\) 设 \(n\) 在自然数内取值，则数列中的项 \(a_n\) 是变量 \(n\) 的“函数”.\(\;\) 确定该函数后，记数列为 \({a_n}\).\(\;\) 如果当 \(n\) 无限增大时 \(a_n\) 无限接近确定的数 \(\alpha\)，则称数列 \({a_n}\) 收敛于 \(\alpha\)，并称 \(\alpha\) 为 \(a_n\) 的极限，记为

\[\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\alpha, \]

或者简明地记为

当 \(n \to \infty\) 时，\(a_n \to \alpha\).

具体来说，给定任意正数 \(\varepsilon\)，可以与之对应地确定一个序号 \(n_0\)，使得

当 \(n > n_0\) 时，\(|\alpha - a_n| < \varepsilon\).

由定义可知，当数列 \({a_n}\) 收敛时，其极限 \(\alpha\) 唯一确定.

如果不论取多大的正数 \(R\)，都与之对应地存在 \(n_0\)，使得

当 \(n > n_0\) 时，\(a_n> R\)，

则采用记号 \(\infty\)，形式上记为

\(\lim\limits_{n\to \infty}a_n=\infty\) 或 \(a_n\to\infty\).

记法

\(\lim\limits_{n\to\infty} a_n=-\infty\) 或 \(a_n\to -\infty\)
也同理.

定理 \(\mathbf3\) \(\quad\) 收敛数列的子序列仍收敛到原极限值.

定理 \(\mathbf{4}\) \(\quad\) 若 \(a_n\to\alpha\)，则存在常数 \(M\) 使得 \(|a_n| < M\).\(\;\) 因此有 \(\alpha \le M\).

[证] 任取正数 \(\varepsilon\)，由假设，存在自然数 \(p\)，使得

当 \(n >p\) 时，\(|\alpha - a_n| < \varepsilon\)，即 \(\alpha - \varepsilon < a_n < \alpha + \varepsilon\)
于是，设 \(M\) 比

\[|a_1|, |a_2|,\cdots, |a_p|,|\alpha-\varepsilon|,|\alpha+\varepsilon| \]

这 \(p + 2\) 个数都大，则对于 \(n \le p\) 和 \(n > p\) 都有 \(|a_n| < M\).\(\;\) 则得到定理的前半部分.

若 \(|\alpha| > M\)，则存在数 \(M'\)，使得 \(|\alpha| > M' > M\).\(\;\) 于是，\(|\alpha-a_n| > M' - M > 0\).\(\;\) 这与 \(a_n \to \alpha\) 矛盾.\(\;\) 故 \(|\alpha| < M\).

\(\Box\)

定理 \(\mathbf 5\) \(\quad\) 当 \(\{a_n\},\{b_n\}\) 收敛时下面式子成立.

\((1^\circ) \lim\limits_{n \to \infty}(a_n+b_n) = \lim\limits_{n\to \infty}a_n+\lim\limits_{n\to \infty}b_n\).

\((2^\circ) \lim\limits_{n \to \infty}(a_n-b_n) = \lim\limits_{n\to \infty}a_n-\lim\limits_{n\to \infty}b_n\).

\((3^\circ) \lim\limits_{n \to \infty}(a_nb_n) = (\lim\limits_{n\to \infty}a_n)(\lim\limits_{n\to \infty}b_n)\).

\((4^\circ) \lim\limits_{n \to \infty}(\dfrac{a_n}{b_n}) = \dfrac{\lim\limits_{n\to \infty}a_n}{\lim\limits_{n\to \infty}b_n}\).

其中，在 \((4^\circ)\) 中设 \(b_n \not = 0,\lim\limits_{n\to\infty}b_n\not = 0\).

由数列极限定义易证.

定理 \(\mathbf 6\) \(\quad\) 单调有界序列必然收敛.

[证] 假定有界序列 \({a_n}\) 单调递增，证明 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\) 存在.

由魏尔斯特拉斯定理（定理 \(2\)），知 \(a_n\) 的上确界存在，设其为 \(\alpha\)，则对于所有的正整数 \(n\)，有 \(a_n < \alpha\).\(\;\) 接下来证明 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n = \alpha\).

任取正数 \(\varepsilon\)，由上确界的定义，知 \(\alpha-\varepsilon\) 不为 \({a_n}\) 的上界，故存在正整数 \(p_0\) 使得 \(a_p+0 > \alpha -\varepsilon\).\(\;\) 因为 \(\{a_n\}\) 单调递增，所以对于正整数 \(p>p_0\)，亦有 \(a_p > \alpha-\varepsilon\)，即 \(|\alpha-a_n| < \varepsilon\).\(\;\) 根据极限的定义，可得 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n = \alpha\).

\(\Box\)

下面列举几个例子.

[例 \(\mathbf{1}\)] 若 \(a > 0\)，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a} = 1\).

[证] \((1^\circ)\) 设 \(a > 1\)，于是有 \(\sqrt[n]{a} > 1\)，且 \(\sqrt[n]{a} > \sqrt[n+1]{a}\).\(\;\) 故 \(\{\sqrt[n]a\}\) 单调递减，且 \(1\) 为它的一个下界.\(\;\) 因此，该数列有满足 \(\alpha \ge 1\) 的极限值 \(\alpha\)。\(\;\) 假设 \(\alpha > 1\)，当 \(\alpha -1 = h > 0\) 时，有 \(\alpha > 1 + h\)，且 \(\sqrt[n]{a} > 1 + h\).\(\;\) 因此，\(a > (1 + h)^n > nh\).\(\;\) 右边随着 \(n\) 曾大的同时无限增大，矛盾.\(\;\) 故 \(\alpha = 1\).

\((2^\circ)\) 如果 \(a < 1\)，则有 \(a' = \dfrac{1}{a} > 1\).\(\;\) 故 \(\sqrt[n]{a'} \to 1\).\(\;\) 因此，\(\sqrt[n]{a} \to 1\)

\((3^\circ)\) 当 \(a = 1\) 时，命题显然成立.

\(\Box\)

[例 \(\mathbf2\)] 若 \(a > 1,k > 0\)，则有 \(\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{a^n}{n^k} = \infty\).

[证] \((1^\circ)\) 设 \(k=1\).\(\;\) 令 \(a=1+h\)，则 \(h > 0\).\(\;\) 故

\[a^n=(1+h)^n = 1 + nh + \dfrac{n(n-1)}{2}h^2>\dfrac{n(n-1)}{2}h^2,\\ \dfrac{a^n}{n} = \dfrac{(1+h)^n}{n} > (n-1)\dfrac{h^2}{2}. \]

故当 \(n \to\infty\) 时，由于第三个表达式无限增大，所以 \(\dfrac{a^n}{n}\to\infty\).

\((2^\circ)\) 设 \(k < 1\)，根据 \(\dfrac{a^n}{n^k} > \dfrac{a^n}{n}(n > 1)\)，命题显然成立.

\((3^\circ)\) 设 \(k > 1\).\(\;\) 由 \(a > 1\)，有 \(a^{\frac{1}{k}} > 1\).\(\;\) 故由 \((1^\circ)\)，当任取 \(M > 1\) 时，对于充分大的 \(n\)，有

\(\dfrac{(a^{\frac{1}{k}})^n}{n} > M\)，因此 \(\dfrac{a^n}{n^k} = \left[\dfrac{(a^{\frac{1}{k}})^n}{n}\right]^k > M^k > M.\)

故 \(\dfrac{a^n}{n^k}\to \infty\).

\(\Box\)

[例 \(\mathbf3\)] 若 \(a > 0\)，则 \(\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{a^n}{n!} = 0\).

[证] 取满足 \(k > 2a\) 的自然数 \(k\)，记 \(\dfrac{a^k}{k!} = C\).\(\;\) 于是当 \(n > k\) 时，有 \(\dfrac{a^n}{n!} = C\dfrac{a}{k+1}\dfrac{a}{k+2}\cdots\dfrac{a}{n} < \dfrac{C}{2^{n-k}} = \dfrac{C\cdot2^k}{2^n} < \dfrac{C\cdot2^k}{n}\).\(\;\) 故令 \(n > \dfrac{C\cdot2^k}{\varepsilon}\) 时，有 \(\dfrac{a^n}{n!} < \varepsilon\).

\(\Box\)

[例 \(\mathbf{4}\)] 若 \(a_n \to \alpha\)，则 \(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \to \alpha\).

[证] 令 \(a_n = \alpha + b_n\)，则有 \(b_n \to 0\).\(\;\) 此时，

\[\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} = \alpha + \dfrac{b_1+b_2+\cdots+b_n}{n}. \]

故只需证明

\[\dfrac{b_1+b_2+\cdots+b_n}{n} \to 0. \]

设 \(\varepsilon > 0\)，根据假设，对于大于 \(k\) 的 \(n\)，有 \(|b_n| < \varepsilon\).\(\;\) 设 \(|b_1|, |b_2|, \cdots,|b_k|\) 中最大者为 \(A\)，则当 \(n >k\) 时，有

\[|\dfrac{b_1+b_2+\cdots+b_n}{n}| < \dfrac{Ak + \varepsilon(n-k)}{n} < \dfrac{Ak}{n} + \varepsilon. \]

取 \(n\) 足够大，使得 \(\dfrac{Ak}{n}\) 小于 \(\varepsilon\)，则有

\[|\dfrac{b_1+b_2+\cdots+b_n}{n}| < 2\varepsilon \]

由于 \(\varepsilon\) 任意，所以上式左边收敛到 \(0\).

\(\Box\)

[例 \(\mathbf{5}\)]（\(e\) 的定义）设 \(a_n = (1+\dfrac{1}{n})^n\)，根据二项式定理，有

\[\begin{split} a_n&=1 + \dfrac{n}{1!} \dfrac{1}{n} + \dfrac{n(n-1)}{2!}\dfrac{1}{n^2} + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!} \dfrac{1}{n^3} +\cdots+\dfrac{1}{n^n}\\ &=1+1+\dfrac{1-\dfrac{1}{n}}{2!}+\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)}{3!}+\cdots+\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{n-1}{n}\right)}{n!}. \end{split} \]

用 \(n+1\) 代替 \(n\)，则右边各项增大且项数增多，所以数列 \(\{a_n\}\) 单点递增，又由上面等式可知

\[\begin{split} a_n &< 1+ \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots + \dfrac{1}{n!}\\ &< 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2}+ \cdots+\dfrac{1}{2^{n-1}} < 3. \end{split} \]

即 \(\{a_n\}\) 单调递增且有界，所以收敛.\(\;\) 在古典数学中，将该极限值定义为 \(e\).

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区间套法

定理 \(\mathbf7\) \(\quad\) 设闭区间 \(I_n = [a_n,b_n](n=1, 2, \cdots)\) 满足：

\((1^\circ)\) 各区间 \(I_n\) 包含于它之前的区间 \(I_{n-1}\) 中.

\((2^\circ)\) 当 \(n\) 无限增大时，区间 \(I_n\) 的长度 \(b_n - a_n\) 无限减小.

则各区间存在唯一一个公共点.

称由该定理确定唯一数（各区间公共的数）的方法为区间套法.

[证] 由假设 \((1^\circ)​\) 有

\[a_1 \le a_2\le\cdots\le a_n\cdots\,\!\cdots \le b_n\le \cdots \le b_2\le b_1. \]

即数列 \(\{a_n\},\{b_n\}\) 单调且有界，因此有

\[\lim a_n = \alpha,\lim b_n = \beta \]

(定理 \(6\)).\(\;\) 对任意的 \(m, n\)，有 \(a_n< b_m\)，所以当 \(n\to \infty\) 时，有 \(\alpha \le \beta\).

根据假设 \((2^\circ)\)，对于任意的 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(n\)，满足

\[b_n-a_n < \varepsilon. \]

于是，由

\[a_n \le \alpha \le \beta \le b_n， \]

有

\[0 \le \beta-\alpha<\varepsilon. \]

因为 \(\varepsilon\) 任意，所以 \(\alpha = \beta\).

对于任意的 \(n\)，有 \(a_n \le \alpha\le\beta\)，所以 \(\alpha\) 属于各区间 \(I_n\)，再由假设 \((2^\circ)\)，显然可知，除 \(\alpha\) 外不再有各区间公共的数.

\(\Box\)

实际上，与实数连续性相关的四个基本定理，即

\((1)\) 戴德金定理（定理 \(1\)），
\((2)\) 魏尔斯特拉斯定理（定理 \(2\)），
\((3)\) 单调有界数列收敛（定理 \(6\)），
\((4)\) 区间套法（定理 \(7\)）

是等价的.

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收敛条件和柯西判别法

定理 \(\mathbf{8}\) \(\quad\) 数列 \(\{a_n\}\) 收敛的充分必要条件是，对于任意的 \(\varepsilon > 0\)，存在与之对应的序号 \(n_0\)，使得

当 \(p > n_0,q>n_0\) 时，有 \(|a_p-a_q| < \varepsilon\).

[证] 显然该条件为必要条件，接下来证明充分性。

由条件可知，数列 \(\{a_n\}\) 有界.\(\;\) 对于任意的 \(n\)，设 \(a_n, a_{n+1},\cdots\) 的上确界和下确界分别为 \(l_n, m_n\)，令 \(I_n = [m_n, l_n]\)，有

\[m_1\le m_2 \le \cdots \le m_n \le \cdots\,\!\cdots\le l_n\le \cdots\le l_2 \le l_n, \\ I_1 \supset I_2 \supset \cdots \supset I_n\supset \cdots. \]

根据假设，易得对于任意的 \(\varepsilon\)，存在 \(n_0\)，使得对于任意的 \(n > n_0\)，有

\[l_n - m_n \le \varepsilon. \]

根据区间套法，存在 \(\lambda\)，满足

\[l_n\to \lambda,m_n\to \lambda. \]

于是，必然有

\[a_n\to \lambda. \]

故数列 \(\{a_n\}\) 收敛.

\(\Box\)

上极限 · 下极限 \(\quad\) 在上面的证明中，单调数列 \(\{l_n\},\{m_n\}\) 收敛.\(\;\) 当设其极限为 \(\lambda,\mu\)，称 \(\lambda\) 是有界数列 \(\{a_n\}\) 的上极限（limes superior），记为 \(\varlimsup\limits_{n\to \infty}a_n\) 或 \(\limsup\limits_{n\to\infty}a_n\).\(\;\) 同样地，称 \(\mu\) 为 \(\{a_n\}\) 的下极限 （limes inferior），记为 \(\liminf\limits_{n\to \infty}a_n\) 或 \(\varliminf\limits_{n\to\infty}a_n\).\(\;\)

点列 \(\quad\) 与一维上的数列相同，在二维中，当自然数 \(n\) 表示位次，与 \(n\) 对应地确定点 \(P_n=(x_n,y_n)\) 时，就生成点列 \(\{P_n\}\).

所谓点列的极限是指满足下面条件的定点 \(A=(a,b)\)：对于任意小的正数 \(\varepsilon\)，取足够大的序号 \(n_0\)，则

当 \(n > n_0\) 时，有 \(AP_n < \varepsilon\).
这等价于

\[\lim\limits_{n \to \infty}x_n=a,\lim\limits_{n \to \infty}y_n=b. \]

关于点列的收敛，柯西判别法可如下叙述.

点列 \(\{P_n\}\) 收敛的充分必要条件是，当任取正数 \(\varepsilon\) 时，存在与之对应的数 \(n_0\)，对于大于 \(n_0\) 的任意 \(m,n\)，有 \(P_mP_n<\varepsilon\).

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聚点

在二维及二维以上的情况下，称符合某一定条件的点的全体为点集.\(\;\) 当集合中所有的点 \(P = (x_1, x_2,\cdots,x_n)\) 各个坐标 \(x_k\) 有界时，称点集有界.\(\;\) 此时，集合中的点全都处于一定的有限范围内.

某点 \(A\) 是集合 \(S\) 的聚点是指，在任意接近 \(A\) 的范围内都存在无穷多个 \(S\)的点，但是未说 \(A\) 属于集合 \(S\).

定理 \(\mathbf9\)（魏尔斯特拉斯定理） \(\quad\) 有界无穷点集必存在聚点。

无限缩小点集，利用反证法易证.

定理 \(\mathbf{10}\) \(\quad\) 若有界闭集列 \(S_1, S_2,\cdots\) 满足：

\((1^\circ)\) \(S_1 \supset S_2 \supset \cdots \supset S_n \supset \cdots\)，

\((2^\circ)\) 当 \(n\) 无限增大时，\(S_n\) 的直径无限减小.

有界点集的直径是指该及合中两点间距离的上界.

定理 \(\mathbf{11}\)（Heine-Borel 覆盖定理） \(\quad\) 若有界闭集 \(F\) 被一组有无穷多个圆整体覆盖，则 \(F\) 可被这些圆中的有限个覆盖.

\(F\) 被覆盖指 \(F\) 中各点均处于这些圆中某个内部.

[证] 假设定理不真，取包围 \(F\) 的正方形 \(Q\)，将其等分为四个小正方形.\(\;\) 考虑 \(F\) 的子集，该子集属于至少其中一个小正方形（包括边）.\(\;\) 对于该子集，定理不真（否则定理对 \(F\) 为真）.\(\;\) 设该子集（闭集）为 \(F_1\)，且包含 \(F_1\) 的小正方形为 \(Q_1\).\(\;\) 重复相同步骤，得到无穷闭集列 \(F\supset F_1 \supset F_2 \supset \cdots\).\(\;\) 这些闭集随着保围他们的小正方形变小而无限变小，故对于足够大的 \(n\)，\(F_n\) 完全落入圆中，矛盾，故定理为真.

\(\Box\)