多项式ln&exp乱写
前言
本文讨论的多项式是模 \(x^n\) 意义下的，系数是模某质数意义下的整数。
都是窝瞎想的，不保证正确（并且大概率有点问题
形式微商
定义
对于多项式 \(F(x)=\sum\limits_{i=0}^n a_ix^i\)，定义其形式微商
\[\mathscr{D}F(x) = \sum_{i=1}^n ia_ix^{i-1}
\]
性质
\((1^\circ)\) 线性
\[\mathscr{D}(F+G) = \mathscr{D}F+\mathscr{D}G
\]
\[\mathscr D(kF) = k\mathscr DF
\]
\((2^\circ)\) 乘除法
乘法
\[\mathscr D(F\cdot G) = \mathscr DF\cdot G+\mathscr DG\cdot F
\]
证明：
设
\[F(x) = \sum_{i=0}a_ix^i\\
G(x) = \sum_{i=0}b_ix^i\\
\]
则
\[\begin{split}
\mathscr{D}(F\cdot G)(x)
&= \sum_{k=0}^n\sum_{i+j = k} (i+j)a_ib_jx^{i+j-1} \\
&= \sum_{k=0}^n\sum_{i+j = k} ia_ix^{i-1}\cdot b_jx^j + a_ix^i\cdot jb_jx^{j-1} \\
&= \sum_{k=0}^n\sum_{i+j = k} ia_ix^{i-1}\cdot b_jx^j + \sum_{k=0}^n\sum_{i+j = k} a_ix^i\cdot jb_jx^{j-1}\\
&= (\mathscr DF\cdot G+\mathscr DG\cdot F)(x)
\end{split}
\]
Q.E.D.
除法
\[\mathscr D\left(\frac F G\right) = \frac{\mathscr DF\cdot G-\mathscr DG\cdot F}{G^2}
\]
其中 \(G^{-1}\) 存在
证明：
\[\mathscr{D}(F\cdot F^{-1}) = \mathscr{D}F \cdot F^{-1}+\mathscr{D}\left(F^{-1}\right)F \\
\mathscr{D}\left(F^{-1}\right) = \frac{\mathscr{D}F}{F^2}
\]
那么
\[\begin{split}
\mathscr{D}\left(\frac{F}{G}\right) = \mathscr{D}\left(F\cdot G^{-1}\right) = \frac{\mathscr DF\cdot G-\mathscr DG\cdot F}{G^2}
\end{split}
\]
Q.E.D
多项式 \(\ln\)
定义
对于常数项为 \(1\) （原因下文说明）的多项式 \(F\)，\(\ln F\)定义如下
\[\begin{cases}
\mathscr{D}(\ln F) = \dfrac{\mathscr{D}F}{F}\\
[x^0]\ln F = 0
\end{cases}
\]
性质
\((1^\circ)\) \(\ln(F\cdot G) = \ln F +\ln G\)
证明：
\[\begin{split}
\mathscr{D}(\ln(F\cdot G))
&= \dfrac{\mathscr{D}(F\cdot G)}{F\cdot G} \\
&=\dfrac{\mathscr{D}F}{F} + \dfrac{\mathscr{D}G}{G} \\
&= \mathscr{D}(\ln(F)) + \mathscr{D}(\ln(G))
\end{split}
\]
Q.E.D.
\((2^\circ)\) \(\ln\) 是从常数项为 \(1\) 的多项式到常数项为 \(0\) 的多项式的双射。
证明：
由于两个集合元素数量相等，只需证明是单射即可。
假若存在两常数项为 \(1\) 的多项式 \(F,G\) 使得 \(\ln F = \ln G\)，那么做差即可得到 \(\ln\left(F\cdot G^{-1}\right) = 0\)，即 \(F=G\)。
Q.E.D
该证明最后一步可以体现出定义域为常数项为 \(1\) 的多项式的必要性，即保证为双射。
多项式 \(\exp\)
定义
\(\exp\) 为 \(\ln\) 的反函数。
性质
以下性质均十分显然
\((1^\circ)\) \(\exp{(F + G)} = \exp F \cdot \exp G\)
两边取 \(\ln\) 即证。
\((2^\circ)\) \(\ln(\exp F) = F, \exp(\ln G) = G\)
完结撒花。
