Luogu P5465 [PKUSC2018] 星际穿越

观察可以发现一个结论，可以视作每个点 $i$ 可以一步到达 $l_i\sim n$ 的每一个点。

发现对于 $a<b<x$，$dist(a,x)\ge dist(b,x)$

第一步是相当特殊的，因为第一步的起点是一个点，而之后的每一步都可以视作从这一段中的任意点出发

于是我们特殊处理第一步，然后将第二步当作第一步

那么，新的第一步是从 $l_x\sim n$ 的任意一个点出发

第二步是从 $\underset{k\ge l_x}{min}\{l_k\}\sim n$ 的任意一个点出发

于是可以考虑倍增

$f_{i,j}$ 表示从 $j\sim n$ 的任意一个点出发，走 $2^i$ 步能到达的最靠左的点

那么，走 $2^i$ 步能到达 $f_{i,j}\sim n$ 的每一个点

于是我们可以得到转移

$$f_{i,j}=f_{i-1,f_{i-1,j}}$$

初始条件为

$$f_{0,j}=\underset{k\ge j}{min}\{l_k\}$$

那么我们用 $g_{i,j}$ 表示从 $j\sim n$ 的任意一个点出发，到 $f_{i,j}\sim j-1$ 的最短步数之和

$$g_{i,j}=g_{i-1,j}+2^{i-1}(f_{i-1,j}-f_{i,j})+g_{i-1,f_{i-1,j}}$$

初始条件为

$$g_{0,j}=j-f_{0,j}$$

计算时倍增即可，注意加上之前被忽略的第一步。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
int n, l[300005];
int q, a, b, x;
int f[25][300005];
long long g[25][300005];

long long query(int a, int x) {
    int now = l[x];
    if (now <= a) return x - a;
    long long ans = 0;
    for (int i = log2(n); i >= 0; i--) {
        if (f[i][now] >= a) {
            ans += g[i][now];
            now = f[i][now];
            ans += 1ll * (now - a) * (1ll << i);
        }
    }
    ans += now - a;
    return ans + (x - a);
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    l[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        scanf("%d", l + i);
    }
    for (int i = n, minx = 0x7fffffff; i >= 1; i--) {
        minx = min(minx, l[i]);
        f[0][i] = minx;
        g[0][i] = i - f[0][i];
    }
    for (int i = 1; i <= log2(n); i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][f[i - 1][j]];
            g[i][j] = g[i - 1][j] + g[i - 1][f[i - 1][j]] + (1ll << (i - 1)) * (f[i - 1][j] - f[i][j]);
        }
    }
    scanf("%d", &q);
    while (q--) {
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &x);
        long long ans = query(a, x) - query(b + 1, x), len = b - a + 1;
        long long gcd = __gcd(ans, len);
        printf("%lld/%lld\n", ans / gcd, len / gcd);
    }
    return 0;
}

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本文作者：0922-Blog
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