agc061_c 容斥+dp

题意

有两个长度为 \(n\) 的严格递增序列 \(A_i,B_i\)，满足 \(\forall i\le n,A_i < B_i\)，且 \(A_i\) 和 \(B_i\) 的所有元素恰好取遍 \(1-2n\)。现在有一个队列，对于 \(1\) 到 \(n\) 每个数 \(i\)，既可以在 \(A_i\) 时刻加入队尾，也可以在 \(B_i\) 时刻加入队尾，问最终能形成多少种不同的队列。

解答

对于每个元素 \(i\)，假若某一个最终形成的队列与 \(i\) 加入队列的时刻无关（此时该元素称为钦定元素），则所有满足 \(B_j > A_i\) 的 \(j\) 都只能在 \(A_j\) 时刻入队，所有满足 \(A_j < B_i\) 的 \(j\) 都只能在 \(B_j\) 时刻入队，记满足 \(A_j < B_i\) 的最大的 \(j\) 为 \(L_i\)，满足 \(A_j < B_i\) 的最大的 \(j\) 为 \(R_i\)，则每个 \(i\) 对应了一个区间 \([L_i, R_i]\)，区间内的每个元素的选择方式都是固定的。

对于两个钦定元素元素 \(i_1, i_2\) ，易知其对应的的区间是不交的。

考虑容斥，每次钦定一个集合，那么集合内每个元素对应的区间都不交，不在这些区间内的数都视为任意交换都会形成一种新方案，这样的方案数为 \(2^k\)（\(k\) 为非钦定元素数量），容斥的话，每个钦定的集合 \(S\) 对应的权值就是 \((-1)^{|S|}2^k\)。

那么就是一个简单的 \(O(n)\) dp了。

记 \(f_i\) 表示仅考虑前 \(i\) 个数的所有方案权值之和，那么遍历 \(1-n\) 每个数，当前遍历到 \(i\) 时。

\(f_i += 2f_{i-1}\) （加入空元素）

$f_{R_i} += -f_{L_i-1} $（加入对应区间）