Luogu P5643 [PKUWC2018]随机游走

题意

给出一棵 \(n\) 结点树，从结点 \(x\) 出发，每次从当前点的所有边中选一条走过去，\(Q\) 次询问给定一个点集 \(S\)，随机游走直到经过 \(S\) 中的每一个点至少一次的期望总步数，出发点 \(x\) 默认在开始时已经被经过。

\(n\le 18, Q\le 5000\)

解法

萌新第一次见到这种题，感觉很神。

首先先转化一下询问，设一个点的权值为第一次到达时所用的步数，于是询问就是求 \(S\) 中点权的期望最大值。

期望最大值是不好处理的，转化为期望最小值。

由期望形式的 \(\mathrm{Min-Max}\) 反演有：

\[E(\max(S)) = \sum_{T\subset S} (-1)^{|T|+1}E(min(T)) \]

于是想到对每个点集 \(T\) 预处理出 \((-1)^{|T|+1}E(min(T))\) 然后使用 \(\mathrm{FWT}\) 计算高维前缀和。

接下来问题变为如何对于每个 \(T\) 快速求解 \(E(min(T))\)，设从 \(i\) 出发第一次到达 \(T\) 中的点的期望步数为 \(f_i\)，那么对于不属于 \(T\) 中的点可以列出转移方程：

\[f_i = \frac1{deg_i}\sum_{(i,j)\in E} f_j +1 \]

我们需要求 \(f_x\) 的值。

转移关系中有环，直接使用高斯消元复杂度显然过于夸张，but 由于树形结构的特殊性，我们可以把 \(f_x\) 视为根，然后使用待定系数法。

考虑对每个 \(i\) 求出满足 \(f_i = k_i f_{fa_i} + b_i\) 的 \(k_i\) 和 \(b_i\)，对于根结点 \(x\) 就有 \(f_x = b_x\)。归纳地考虑，对于叶子结点显然有 \(k = 1, b = 1\)，对于其他结点，其所有叶结点的 \(f\) 均为其一次函数，代入转移方程显然其 \(f\) 值也为其父结点 \(f\) 的一次函数。

具体地推式子：

\[\begin{split} f_i &= \frac1{deg_i}\left(f_{fa_i} + \sum_{j\in son_i} f_j\right) + deg_i \\ deg_if_i &= f_{fa_i}+\sum_{j \in son_i }k_jf_i+b_j + deg_i \\ deg_if_i &= f_{fa_i}+f_i\sum_{j \in son_i }k_j+\sum_{j \in son_i }b_j + deg_i\\ (deg_i-\sum_{j \in son_i }k_j)f_i &= f_{fa_i}+\sum_{j \in son_i }b_j + deg_i \\ f_i &= \frac{1}{deg_i-\sum_{j \in son_i }k_j}f_{fa_i}+\frac{\sum_{j \in son_i }b_j + deg_i}{deg_i-\sum_{j \in son_i }k_j} \end{split} \]

即

\[k_i = \frac{1}{deg_i-\sum_{j \in son_i }k_j},b_i = \frac{ deg_i+\sum_{j \in son_i }b_j}{deg_i-\sum_{j \in son_i }k_j} \]

最后只需要求 \(f_x\)，即 \(b_x\)。

萌新从没见过这么神的期望 dp，菜菜。