Luogu P5643 [PKUWC2018]随机游走

题意

给出一棵 $n$ 结点树，从结点 $x$ 出发，每次从当前点的所有边中选一条走过去， $Q$ 次询问给定一个点集 $S$ ，随机游走直到经过 $S$ 中的每一个点至少一次的期望总步数，出发点 $x$ 默认在开始时已经被经过。

$n \leq 18, Q \leq 5000$

解法

萌新第一次见到这种题，感觉很神。

首先先转化一下询问，设一个点的权值为第一次到达时所用的步数，于是询问就是求 $S$ 中点权的期望最大值。

期望最大值是不好处理的，转化为期望最小值。

由期望形式的 $Min - Max$ 反演有：

E (max (S)) = \sum_{T \subset S} (- 1)^{| T | + 1} E (m i n (T))

于是想到对每个点集 $T$ 预处理出 $(- 1)^{| T | + 1} E (m i n (T))$ 然后使用 $FWT$ 计算高维前缀和。

接下来问题变为如何对于每个 $T$ 快速求解 $E (m i n (T))$ ，设从 $i$ 出发第一次到达 $T$ 中的点的期望步数为 $f_{i}$ ，那么对于不属于 $T$ 中的点可以列出转移方程：

f_{i} = \frac{1}{d e g_{i}} \sum_{(i, j) \in E} f_{j} + 1

我们需要求 $f_{x}$ 的值。

转移关系中有环，直接使用高斯消元复杂度显然过于夸张，but 由于树形结构的特殊性，我们可以把 $f_{x}$ 视为根，然后使用待定系数法。

考虑对每个 $i$ 求出满足 $f_{i} = k_{i} f_{f a_{i}} + b_{i}$ 的 $k_{i}$ 和 $b_{i}$ ，对于根结点 $x$ 就有 $f_{x} = b_{x}$ 。归纳地考虑，对于叶子结点显然有 $k = 1, b = 1$ ，对于其他结点，其所有叶结点的 $f$ 均为其一次函数，代入转移方程显然其 $f$ 值也为其父结点 $f$ 的一次函数。

具体地推式子：

\begin{aligned} f_{i} & = \frac{1}{d e g_{i}} (f_{f a_{i}} + \sum_{j \in s o n_{i}} f_{j}) + d e g_{i} \\ d e g_{i} f_{i} & = f_{f a_{i}} + \sum_{j \in s o n_{i}} k_{j} f_{i} + b_{j} + d e g_{i} \\ d e g_{i} f_{i} & = f_{f a_{i}} + f_{i} \sum_{j \in s o n_{i}} k_{j} + \sum_{j \in s o n_{i}} b_{j} + d e g_{i} \\ (d e g_{i} - \sum_{j \in s o n_{i}} k_{j}) f_{i} & = f_{f a_{i}} + \sum_{j \in s o n_{i}} b_{j} + d e g_{i} \\ f_{i} & = \frac{1}{d e g_{i} - \sum_{j \in s o n_{i}} k_{j}} f_{f a_{i}} + \frac{\sum_{j \in s o n_{i}} b_{j} + d e g_{i}}{d e g_{i} - \sum_{j \in s o n_{i}} k_{j}} \end{aligned}

即

k_{i} = \frac{1}{d e g_{i} - \sum_{j \in s o n_{i}} k_{j}}, b_{i} = \frac{d e g_{i} + \sum_{j \in s o n_{i}} b_{j}}{d e g_{i} - \sum_{j \in s o n_{i}} k_{j}}

最后只需要求 $f_{x}$ ，即 $b_{x}$ 。

萌新从没见过这么神的期望 dp，菜菜。

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本文作者：0922-Blog
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