数论中一个有趣的小结论

对于任意质数 $p$，对于任意非负整数 $k<p-1$，有 $p|\sum _{i=0}^{p-1}{i}^k$

证明：

$k=0$ 的情况是容易验证的。

取 $p$ 的原根 $g$，由剩余系的性质知：

在 $\mathrm{mod}p$ 意义下，有

$$\{0,g,2g,\cdots ,(p-1)g\}=\{0,1,2,\cdots ,p-1\}$$

于是

$$\sum _{i=0}^{p-1}{i}^k\equiv \sum _{i=0}^{p-1}(gi{)}^k\equiv g^k\sum _{i=0}^{p-1}{i}^k(\mathrm{mod}p)$$

又 $k<p-1⟹g^k\not\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

即证 $p|\sum _{i=0}^{p-1}{i}^k$