数论中一个有趣的小结论
对于任意质数 \(p\)，对于任意非负整数 \(k < p-1\)，有 \(p|\sum_{i=0}^{p-1}i^k\)
证明：
\(k=0\) 的情况是容易验证的。
取 \(p\) 的原根 \(g\)，由剩余系的性质知：
在 \(\mod p\) 意义下，有
\[\{0, g, 2g,\cdots, (p-1)g\} = \{0, 1, 2, \cdots, p-1\}
\]
于是
\[\sum_{i = 0}^{p-1}i^k \equiv \sum_{i=0}^{p-1}(gi)^k\equiv g^k\sum_{i=0}^{p-1}i^k\pmod p
\]
又 \(k<{p-1}\implies g^k\not\equiv 1\pmod p\)
即证 \(p|\sum_{i=0}^{p-1}i^k\)
