好想被卷快来卷死0922

卷卷卷卷卷来卷去卷死卷不动拒绝卷从你他她ta开始喵喵喵呜呜累累哭哭

瞎卷点各种变换什么看起来比较妙的东西也没什么好理解就给自己看的顺带记录精神状态了

全抄的。

卷积：

给出两个序列 \(\mathbf a = (a_1, a_2, \cdots, a_n)^{\text T}, \mathbf b = (b_1, b_2, \cdots, b_n)^{\text T}\)，两序列的卷积 \(\mathbf c = (c_1, c_2, \cdots, c_n)^{\text T}\) 满足

\[c_k = \sum_{i\oplus j = k} a_ib_j \]

考虑一个可逆的线性变换 \(\mathscr{P}\)，其在标准正交基下的矩阵为 \(\mathbf P\)，记 \(\mathbf a\) 在 \(\mathscr P\) 为 \(\hat{\mathbf a} = (\hat a_1, \hat a_2, \cdots, \hat a_n)^{\text T}\)

推一推 \(\mathscr{P}\) 的性质

\[\begin{split} &\hat c_k = \hat a_k\cdot \hat b_k \\ \Leftrightarrow &\sum_{u = 1}^nP(k, u)c_k = \sum_{i=1}\sum_{j=1}P(k, i)P(k, j)a_ib_j\\ \Leftrightarrow &\sum_{u=1}^nP(k, u)\sum_{i\oplus j=u}a_ib_j=\sum_{i=1}\sum_{j=1}P(k, i)P(k, j)a_ib_j\\ \Leftrightarrow &\sum_{u=1}^nP(k, u)\sum_{i\oplus j=u}a_ib_j=\sum_{i=1}\sum_{j=1}P(k, u)P(k, j)a_ib_j\\ \Leftrightarrow &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nP(k,i\oplus j)a_ib_j=\sum_{i=1}\sum_{j=1}P(k, u)P(k, j)a_ib_j \end{split} \]

\(P(k,i\oplus j) = P(k, i)P(k, j)\)

于是我们构造出来的线性变换便需要满足这个性质以及可以快速求逆.

卷积的组合

就是有许多维的卷积，归纳地考虑，一层一层做线性变换，之后就可以点积了，点积后再拆掉. 这样交换两层线性变换的顺序是没有影响的（或许？），于是这就有某种交换律.

\(\max\) 卷积对应的变换大概是前缀和，于是或卷积对应的变换是高维前缀和，\(\gcd\) 可以看作高维取 \(\min\)，于是对应狄利克雷后缀和.