跨年比赛记录（CF1777 赛时+补题）

赛时

开赛前，跟某位朋友说窝可能不会 A，结果就真犯了离谱错误，一会儿没写输入一会儿写错输出，竟然 9min 才过 A😅！你看这个 0922 就是菜啦！

这个 B 很结论，瞪一眼就秒了，赛时写了 6min 就过了 B，这说明这个 B 比 A 还要水！😰

C 是个很套路的简单贪心 + 模拟，写了一会儿就过了，中间犯了离谱错误，花了不少时间。

看 D，不会了，想了一会儿没想出来呐。

看 E，还是找不到思路。

于是就去看烟花了。

赛后补题

比赛结束后看 QQ 裙，裙佬犀利地指出了 D 的结论，哈，一下子就明白了啦，妙！于是决定对这思维的火花做一点小小的记录。

D

首先观察叶子结点，发现每个叶子结点在第一时刻为 \(1\) 的概率是 \(\frac12\)。

继续考虑高度为 \(2\) 的点（儿子只有叶子结点的点），发现其在第一时刻为 \(1\) 的概率为 \(\frac12\)，第二时刻为 \(1\) 的概率取决于其每个孩子在第一时刻的取值，而每个孩子在第一时刻取值为 \(0\) 或取值为 \(1\) 的概率皆为 \(\frac12\)，由于异或运算中每个元素的变化都会对结果造成影响，于是该结点在第二时刻取值为 \(1\) 的概率仍为 \(\frac12\)。

以此类推，可以发现在某一时刻（与结点高度有关）后某一结点的取值均为 \(0\)，而在这一时刻前，该结点在每一时刻取值为 \(0\) 或 \(1\) 的概率皆为 \(\frac12\)。

E

E 也是一道巧妙的题目，由题面不难想到二分答案，巧妙之处在于判定。

判定时，我们无法确定每一条可以转向的边是否需要转向，这里有一个巧妙的 trick，我们可以把需要转向的边定为双向边。

我们来简要说明一下这个 trick 的正确性，我们只需要说明在转换为双向边的图中，若存在一个可到达所有点的点 \(s\)，那么从这个点到图中的任何一个点所经过的路径中，可以只从一个方向经过这条双向边。

假设这条双向边为 \((u, v)\)，那么从 \(s\) 到 \(u\) 和 \(s\) 到 \(v\) 的路径中至多有一条必须经过 \((u, v)\)，于是只需单向通过该边便可到达点 \(u\) 和 \(v\)，下略。

那么判定只需在建出的新图上跑 \(Tarjan\) 缩点，后判定是否只有一个入度为 \(0\) 的点即可（考虑反向图，可发现从每个点出发最终都会到达一个出度为 \(0\) 的点，那么原图中若有唯一入度为 \(0\) 的点，可以到达其它所有点）。

F

观察式子，看到前面的 \(\max\) 可以发现要求出每个 \(a_i\) 的支配区间，后面的连续段的 \(\operatorname{xor}\) 和可以用类似于前缀和的方法计算，实际上就是在笛卡尔树上跑一个字典树的启发式合并，复杂度分析类似于 dsu on tree，是一个 \(\mathcal{O}(n\log n\log a)\) 的。

这题代码犯了离谱错误调了几小时，真是无可救药呢😥