Lyndon 串相关知识速记

Lyndon Words

一个串为 Lyndon 串当且仅当其为其所有后缀中字典序最小的.

Lyndon 分解：将一个串 $w$ 分解为若干个字典序单调不增的 Lyndon 串 $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{k}$ 的拼接，每个 $w_{i}$ 为 $w$ 的 Lyndon 因子.

可以证明一个串的 Lyndon 分解是存在且唯一的.

引理 1：若 $u, v$ 均是 Lyndon 串且 $u < v$ ，则 $u v$ 也是 Lyndon 串.

分讨易证.

引理 2：Lyndon 分解的最后一个 Lyndon 串为原串的最小后缀.

由 Lyndon 分解的单调性及 Lyndon 串的性质易证.

考虑每个单个字符都是 Lyndon 串，由引理 1 不断合并，可以得到一组合法的 Lyndon 分解；由最小后缀的唯一性，利用引理 2 归纳，可以导出 Lyndon 分解的唯一性.

可以将相同的 Lyndon 串写成幂的形式，即 $w = w_{1}^{p_{1}} w_{2}^{p_{2}} \dots w_{k}^{p_{k}}$ .

Duval 算法：称形如 $u^{k} u^{'}$ 的串为近似 Lyndon 串，其中 $u$ 为 Lyndon 串， $u^{'}$ 为 $u$ 的一个前缀. 增量维护近似 Lyndon 串即可，也是 $O (| w |)$ .

Significant Suffix

记 $minsuf (u)$ 为 $u$ 的最小后缀，记 $minsuf (u, v) = min_{w \in suf (u)} w v$ .

对于字符串 $w$ 的后缀 $w^{'}$ ，若存在字符串 $v$ 使得 $w^{'} v$ 为字符串集合 ${w^{″} v | w^{″} \in suf (w)}$ 中字典序最小的元素，则称 $w^{'}$ 为 $w$ 的 Significant Suffix. 将字符串 $w$ 的所有 Significant Suffix 组成的集合记做 $Λ (w)$ .

引理 3：

v < u v < u^{2} v < \dots < u^{\infty}

和

v > u v > u^{2} v > \dots > u^{\infty}

两条不等式链中一定恰有一条成立.

证明考虑 $v < u v$ 和 $v > u v$ 中恰有一条成立，反复运用即可.

引理 4： $Λ (w)$ 的元素形如 $w_{i}^{p_{i}} \dots w_{k}^{p_{k}}$ ，将这个串记做 $s_{i}$ .

首先由 Lyndon 串的性质，一定形如 $w_{i}^{t} w_{i + 1}^{p_{i + 1}} \dots w_{k}^{p_{k}}$ ，再由引理 3 可知当 $t \in (0, k_{i}) \cap N$ 时都无法取到最值.

（似乎？）可以证明这里的 $s_{i}$ 的字典序是单减的，考虑反证

若 $s_{i + 1} > s_{i}$ ，则 $s_{i + 1} > w_{i}^{p_{i}} s_{i + 1}$ ，由引理 3 知 $s_{i + 1} > w_{i}^{\infty}$ ，那么存在 $j \in [i + 1, k] \cap N$ 和 $w_{i}$ 的某个后缀 $w_{i}^{'}$ 使得 $w_{j} > w_{i}^{'} > w_{i}$ ，与 Lyndon 分解的性质矛盾.

显然有 $\forall s \in Λ (w), ∄ s^{'}, s^{'} ⊲ s$

再由 $s_{i}$ 的单调性， $s_{i}$ 为 Significant Suffix 的一个必要条件是 $s_{i} ⊐ s_{i + 1}$ .

引理 5： $s_{i} ⊐ s_{i + 1} ⟺ w_{i} ⊐ s_{i + 1} ⟺ i \geq λ$ ，其中 $s_{λ}$ 为 Duval 算法中第一次比较完字符串末尾时的近似 Lyndon 串.

由 Duval 算法的过程易证.

实际上 $i \geq λ$ 也是 $s_{i} \in Λ (w)$ 的必要条件，于是可以 $O (| w |)$ 求出 $Λ (w)$ .

引理 6：对于 $u, v \in Λ (w)$ ，若 $| u | < | v |$ ，则 $2 | u | \leq | v |$ ，于是 $| Λ (w) | = O (\log w)$ .

由引理 4 和引理 5，可以简单推出 $| s_{i} | \geq 2 | s_{i + 1} |$ ，而满足 $| s_{i} | \geq 2 | s_{i + 1} |$ 的串只有 $O (\log | w |)$ 个，于是显然.

实际运用中往往不需要求出每个后缀是否为 Significant Suffix，只需取 ${s_{i} | | s_{i} | \geq 2 | s_{i + 1} |}$ 即可.

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本文作者：0922-Blog
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