一个生成函数的小结论

数学能力太弱导致的.

求

\[[x^n]\frac{1}{\prod_{i=0}^m(1-(u + iv)x)} \]

根据 EI 哥哥的博客

\[\def\e{\mathrm{e}} [x^n]\frac{1}{\prod_{i=0}^m(1-(u + iv)x)} = \left[\frac{x^{n+m}}{(n+m)!}\right] \frac{\e^{ux}(\e^{vx} - 1)^m}{v^mm!} = \frac{1}{v^mm!}\sum_{k=0}^m\binom{m}{k}(-1)^k(u + kv)^{n + m} \]

这个等式可以根据组合意义得到，具体地说：

有 \(n + m\) 个有标号球，\(m + 1\) 个集合，集合的 id 为 \(0-m\)，要先把小球放入每个集合，并为其选取一个颜色，\(0\) 号集合中的球有 \(u\) 种颜色可选，\(1-m\) 号集合中的球有 \(v\) 种颜色可选. \(1-m\) 号集合都被要求至少有一个球. \(1-m\) 号集合互不区分.

首先考虑 ogf，考虑将所有球球按标号从小到大依次放入. 由于 互不区分 与 钦定一种顺序 的方案数相同，钦定 \(1-m\) 号集合中最小标号球的标号递增，方案数的 ogf 即为：

\[\frac{1}{1-ux}\frac{vx}{1-(u+v)x}\cdots\frac{vx}{1-(u + mv)x} = \frac{(vx)^m}{\prod_{i=0}^m(1-(u + iv)x)} \]

egf 的组合意义是平凡的.

也可以通过别的方法得到：

学习另一篇 EI 哥哥的博客

考虑做分式分解

设 \(R_0,R_1,\cdots,R_m\) 满足

\[\frac{1}{\prod_{i=0}^m(1-(u + iv)x)} = \sum_{i=0}^m\frac{R_i}{1-(u+iv)x} \]

记 \(Q(x) = \prod_{i=0}^m(1-(u + iv)x), q_i(x) = 1-(u+iv)x\) 根据分式分解的结论，有

\[\begin{aligned} R_i =& \left(Q(x)/q_i(x) \bmod q_i(x)\right)^{-1} \bmod q_i(x)\\ =& \left(\prod_{j\not= i} (q_j(x) \bmod q_i(x))\right)^{-1} \bmod q_i(x)\\ =& \left(\prod_{j\not= i} 1-\frac{u+jv}{u+iv}\right)^{-1} \bmod q_i(x) \\ =& \frac{(-1)^{m-i}(u+iv)^m}{v^mi!(m-i)!} \end{aligned} \]

发现结果是相同的.