3.22

Minimum Spanning Trees

给定一张 \(n\) 个点的完全图，每条边有 \(p_0\) 的概率不存在，\(\forall 1\le i\le k\)，有 \(p_i\) 的概率边权为 \(i\)，求所有可能总权值的概率.

\(n\le 40, k\le 4\)

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数据严重偏小了似乎.

\(f_{i, j, k}\) 表示权值为 \(1-i\) 的边，\(j\) 个有标号点组成的权值为 \(k\) 的生成树的概率，考虑直接 dp 的话，难以处理比当前权值 \(i\) 大的边，于是这个 dp 需要一个辅助数组 \(g_{i, j, k}\) 表示将权值 \(\ge i\) 的边权全部视为边权为 \(i\)，我们转移 \(g\) 时，枚举只保留 \(<i\) 的边时 \(1\) 号点所在的连通块大小转移，转移 \(f\) 时枚举只保留 \(\le i\) 的边时 \(1\) 号点所在的连通块大小容斥转移，这两个是经典的.

这么直接做就可以过了，然而 jiangly 哥哥指出，这题可以看作一个二元 GF，一维维护点数，一维维护边权和，拿 \(F_v(x, y)\) 表示由 \(\le v\) 的边组成的所有 mst 的生成函数，注意到将 \(\ge v\) 的边权视为 \(v\) 的所有mst的生成函数 和 将 \(> v\) 的边权视为 \(v\) 的所有 mst 的生成函数是相等的，于是可以列出一个生成函数方程，发现如果忽略 \(y\),很像一个 \(\exp\) 的形式. 于是考虑对 \(y\) 插值，利用 \(\sum a_ia_j = \binom{n}{2} - \sum\binom{a_i}{2}\) 拆开指数上的系数即可将其看作一个 \(\exp\) 的形式，于是就可以用 \(\exp\) 和 \(\ln\) 快速计算了，需要维护 \(nk\) 个点值，单次 \(\exp\) 和 \(\ln\) 写 \(\mathcal{O}(n^2)\) 的半在线卷积，总共推 \(k\) 轮，时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n^3k^2)\).

应该也可以 dp 算点值，需要一些关于组合意义的思考.