2025.2.6

合集 - 年后集训(4)

1.2025.2.302-032.2025.2.402-053.2025.2.502-05

4.2025.2.602-06

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HZTG 鸬鹚

注意到矩形至多合并 \(n-1\) 次。

考虑对 \(x\) 维扫描线，用线段树维护 \(y\) 维。

按每个矩形的 \(x_2\) 排序，将 \(x_2\) 信息挂在线段树上（用链表的东西存），查询使用 \(x_1\) 进行判断即可。

注意到排序后每次在链表从后向前查是具有单调性的（因为加入时就是具有单调性的），所以可以倒叙遍历加懒惰删除。

但此时依旧有点问题，因为这个东西是标记永久化的形式，而修改查询都是区间的形式，所以得再维护一下虚树信息（类比树套树分讨贡献即可）。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

HZTG 雪雀

首先考虑 \(O(n)\) 的单源最短路，注意到对于一列 \(a_{1,i},a_{3,i}\) 之间的最短路会恰好经过 \(a_{2,j}\) 一次，所以可以分讨是在 \(i\) 列的左右，预处理 \(f_i,g_i\) 分别表示只考虑 \([1,i],[i,n]\) 时 \(a_{1,i},a_{3,i}\) 之间的最短路，转移形如 \(f_{i}=\min(f_{i-1},a_{2,i})+a_{1,i}+a_{3,i}\)。

此时就能通过 \(f,g\) 数组 \(O(n)\) 求单源最短路了，具体的对于枚举的一个点 \((x,y)\) 此时能得知 \((1,x),(2,x),(3,x)\) 的最短路，考虑往两侧递推，分讨每个点最短路的转移方向（即上下左右），对于左右就可以使用 \(f,g\) 数组来更新。

此时得到 \(O(n^2)\) 的做法。

对于求所有路径的问题，考虑分治。

具体的设一层的分治中心为 \(mid\) ，每次解决 \([l,mid]\) 与 \([mid+1,r]\) 之间的最短路。

考虑 \(u,v\) 之间的最短路只能是由

\(u\to(1,mid)\to(1,mid+1)\to v\)

\(u\to(2,mid)\to(2,mid+1)\to v\)

\(u\to(3,mid)\to(3,mid+1)\to v\)

设 \(A_{1/2/3}\) 表示 \(u\) 到 \((1/2/3,mid)\) 的最短路，\(B_{1/2/3}\) 同理。

则最短路为 \(\min(A_1+B_1,A_2+B_2,A_3+B_3)\)，考虑分讨经过 \((1,mid)\to(1,mid+1)\) 时边权的限制，应有 \(A_1+B_1\le A_2+B_2,A_1+B_1\le A_3+B_3\) 移项得 \(A_1-A_2\le B_2-B_1,A_1-A_3\le B_3-B_1\)，变为二维偏序问题，1-side 扫描线，2-side 树状数组即可。

注意最短路相等的情况，此时钦定一个优先级，将一些 \(\le\to<\) 即可。

时间复杂度 \(O(n\log^2n)\)。

HZTG 燕鸥

打表题 \(\dots\)

大致的就是打表找规律得到能单点单次 \(O(\log_3n)\) 查询做法。然后进一步发现只用查询 \(O(\log_3n)\) 个点即可。

时间复杂度 \(O(T\log_3^2n)\)。

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