2025 省选模拟 3

合集 - 模拟赛(20)

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2025 省选模拟 3

[SNOI2024] 树 V 图

树形DP，计数题

注意到一个合法方案，对于相同 \(f(x)\) 的点一定构成一个联通块，且对应的关键点一定在这个联通块内。

注意到 \(n\le 3000\)，考虑单次 \(O(n^2)\) 的做法，树形DP暴力枚举关键点是谁，对于转移我们只关心关键点和连通块顶部的点的距离，状态多开一维记录一下即可

时间复杂度 \(O(Tn^2)\)。

[SNOI2024] 矩阵

链表，差分，数据结构，trick

lxl : 善用差分

没见过这种差分方式。

对于第一种操作考虑使用十字链表进行维护，由于更改相关位置只有 \(O(n)\) 个，可以直接旋转。但注意到一个问题，由于十字链表维护的上下左右只是一个相对位置，旋转后这个矩形内的相对位置会发生变化，所以可以给这个矩形区间加上一个旋转标记，这样就能正确找到相对位置，而区间加操作等价于第二种操作。

对于第二种操作考虑使用双向差分进行维护，具体的对于每一个位置记录他与他的上下左右的 \(\Delta\) ，这样每次需要得到一个位置的值时可以 \(O(n)\) 从一个已知位置（如边界），走过去得到所有信息。

对于上述两种操作，具体的可以先将边界和边界外围一圈的信息先得到（即所有可能会更改差分信息的位置），然后进行操作，再重新建立差分关系。

这样每次操作的时间复杂度是 \(O(n)\)。

总时间复杂度为 \(O(n(q+n))\)，略卡常。

[SNOI2024] 拉丁方

构造，二分图最小边染色，trick

结论 ： 二分图最小边染色数 = 点最大度数

证明

首先必要性是显然的（一个点所有边的颜色得不一样）。

考虑证明充分性。

考虑通过一组构造证明

考虑对于一条边 \(u-v\) 进行染色，找到 \(col_u=mex(U),col_v=mex(V)\)。

若 \(col_u=col_v\) 则直接连边

否则考虑增广。具体的钦定这条边的颜色为 \(col_u\)，若 \(col_u\in V\) 则将与 \(v\) 相连是 \(col_u\) 的边染成 \(col_v\)，然后不断增广下去，直到一个点不同时拥有 \(col_u,col_v\)。

考虑这样做一定能进行增广的正确性。

这样增广最终只会单独形成一条链，或者与 \(u\) 一起构成一个 \(col_u,col_v\) 交替的环。

由于增广是不会到达一个 \(col_u,col_v\) 交替的环，因此上面两种情况归纳了所有的情况。

对于第一种情况显然能成功进行增广。

对于第二种情况由于二分图不存在奇环，且最初 \(u\) 并没有 \(col_u\) 颜色的边，所以一定能进行增广（或者说一定有 \(col_u=col_v\)）。

以上证明了增广的正确性。

回到问题，由于此构造是通过每次至多花费一个度数增加一个 \(mex\) 的颜色，而这个 \(mex\) 是不会大于 \(\max\{deg\}\)，所以颜色数是不大于 \(\max\{deg\}\)。

证毕

暂存：简单图最小边染色数 = 点最大度数 + 0/1

考虑当 \(R=n\) 怎么做。

将每一行看作一个左部点，每个数看作一个右部点，每行缺什么数就将相应的行与数对应的点边。

时问题等价于构造出一组二分图最小边染色，考虑将边的颜色视作位置（第几列），对于左部点而言一个数只能占用一列，所以每个左部点的相连的边颜色应不同，对于右部点而言每个数所属列应不同，同上。

此时所有点的度数都是 \(n-C\) 所以此时一定有解。

当 \(R\not= n\) 时

先同上将矩阵补全为 \(R=n\) ，方法同上，不过此时可能有无解情况。

时间复杂度瓶颈在于求解二分图最小边染色数，单次 \(O(n^3)\)，总时间复杂度为 \(O(Tn^3)\)。

rotate

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